3.1 直方图
Part 1: 图像与直方图的显示
实验目的
加载一幅灰度图像，并可视化其直方图，从而直观理解图像的灰度分布特性。
实验步骤
首先使用 skio.imread 读取图像文件，得到一个二维数组，其中每个元素对应一个像素的灰度值。为了便于后续的数学运算，将图像数据类型转换为32位浮点数。然后使用 plt.hist 函数绘制直方图，该函数需要一维数组作为输入，因此需要用 reshape((-1,)) 将二维图像展平。参数 bins=255 表示将灰度范围划分为255个区间。
结果分析
可以观察到 Lena 图像的灰度分布较为分散，这意味着图像具有较好的对比度。灰度值较低的部分对应头发和阴影区域，而灰度值较高的部分对应帽子的高光和背景区域。
Part 2: 累积直方图
实验目的
在直方图的基础上，进一步引入归一化直方图和累积直方图的概念。设图像共有 N 个像素，归一化直方图定义为
其中 n_k 是灰度值为 k 的像素个数。归一化后的直方图可以视为灰度级的概率分布，满足 \sum_k h(k) = 1。
累积直方图（也称累积分布函数 CDF）定义为
即从灰度级0到 k 的概率之和。
实验步骤
使用 np.histogram 计算直方图，然后除以像素总数进行归一化。对归一化直方图调用 cumsum() 方法即可得到累积直方图，该方法计算数组的累积和，即 H[k] = h[0] + h[1] + \cdots + h[k]。
结果分析
归一化直方图 的每个灰度级值表示该灰度级在图像中出现的概率。累积直方图是归一化直方图的积分，从0单调递增到1，其斜率反映了对应灰度区间的像素密度。
Part 3: 高斯噪声对直方图的影响
实验目的
研究向图像添加噪声后直方图的变化，向图像添加高斯噪声相当于对每个像素的灰度值加上一个服从 \mathcal{N}(0, \sigma^2) 分布的随机变量。根据概率论，两个独立随机变量之和的分布是它们各自分布的卷积。因此，添加噪声后的直方图是原始直方图与高斯分布的卷积结果。
实验步骤
使用 noise(im, br) 函数向图像添加高斯白噪声，其中参数 br 是噪声的标准差 \sigma。该函数为每个像素生成一个服从 \mathcal{N}(0, \sigma^2) 的随机数并加到原始灰度值上。本实验设置 \sigma = 30，然后分别显示原始图像和噪声图像及其对应的直方图。
结果分析
原始直方图具有明显的多峰结构，而噪声图像的直方图变得平滑，曲线类似高斯分布，整体分布变得更加平缓。
Part 4: 不同噪声强度的对比
实验目的
进一步验证噪声标准差 \sigma 对直方图平滑程度的影响。根据卷积理论，原始分布与高斯核 \mathcal{N}(0, \sigma^2) 卷积后，结果分布的宽度会增加。具体而言，若原始分布的方差为 \sigma_0^2，添加方差为 \sigma^2 的高斯噪声后，结果分布的方差变为 \sigma_0^2 + \sigma^2。因此 \sigma 越大，直方图越宽、越平滑。
实验步骤
分别对原始图像添加标准差为 \sigma = 0, 10, 30, 50 的高斯噪声，并观察图像质量和直方图形态的变化。
结果分析
随着 \sigma 增大，直方图由多峰结构开始接近单峰的钟形曲线，在\sigma=50 时直方图几乎接近高斯分布曲线
3.2 对比度变化
Part 3: 非递增变换的效果
实验目的
对比度变化本质上是对图像灰度值应用一个变换函数 y = f(x)，其中 x 是输入灰度级，y 是输出灰度级。这里我们不使用递增变换函数，观察图像变化。两个典型的非递增变换是：V形变换 y = |x - 128| 和正弦变换 y = 128 + 100\sin(\pi x / 128)。
实验步骤
分别对图像应用恒等变换 y = x、V形变换 y = |x - 128| 和正弦变换，并绘制对应的变换曲线
结果分析
恒等变换是一条斜率为1的直线，V形变换在 x=128 处有一个最小值点，两侧对称上升，因此左右的灰度值都会被映射到相同的输出值，破坏了原有的明暗区分。正弦变换曲线在 [0, 255] 范围内完成了一个完整周期，存在多个极值点，导致不同的输入灰度级可能产生相同的输出，从而造成灰度可能折叠。
3.3 直方图均衡化
Part 1: 基本均衡化
实验目的
直方图均衡化的目标是使输出图像的直方图尽可能接近均匀分布，以增强对比度。数学上，均衡化使用累积分布函数（CDF）作为变换函数，变换后原本像素密集的灰度区域会被展开，稀疏的区域则被"压缩"，从而使输出直方图趋于平坦。
实验步骤
读取图像 sombre.jpg，计算其归一化直方图和累积直方图。将累积直方图乘以255作为查找表，对每个像素的灰度值进行映射，得到均衡化后的图像。同时绘制变换函数曲线和均衡化前后的直方图、累积直方图进行对比。
结果分析
原始直方图显示像素高度集中在灰度级20-60之间，这就是为什么图片偏暗。均衡化直方图分布更加分散，虽然不是均匀分布，但整体趋势更加平坦。最后对比了两条累积直方图曲线：原始图像的CDF（蓝色）在低灰度区域上升然后趋于平缓，而均衡化后的CDF（橙色）呈现阶梯状上升，整体更接近理想的直线
Part 2: 均衡化原理的进一步理解
实验步骤
对 Lena 图像计算累积直方图并应用均衡化变换，将原始直方图和均衡化后的直方图叠加显示以便对比。
结果分析
可见均衡化后的直方图分布更加均匀
3.4 直方图规定化
Part 1: 同场景不同曝光图像的差异
实验目的
直方图规定化是将一幅图像的直方图变换成指定的目标直方图。与均衡化不同，规定化的目标不是均匀分布，而是任意指定的分布。
实验步骤
读取两张图像 vue1.tif（图像 u）和 vue2.tif（图像 v），它们拍摄的是同一场景，但曝光参数不同。计算并显示两图的逐像素差值的绝对值 |u - v|，以直观展示曝光差异造成的影响。
结果分析
可见由于曝光，灰度分布差异明显
Part 2: 直方图匹配算法
实验目的
算法基于一个简单的思想：将两幅图像的像素分别按灰度值排序，然后建立一一对应的映射关系，将图像 u 的直方图变换为图像 v 的直方图。具体步骤为：
- 将图像 u 展平为一维数组，并获取按灰度值排序的索引 \text{ind}
- 将图像 v 展平并排序得到 \text{sort}(v)
- 构造新图像：u_{\text{new}}[\text{ind}] = \text{sort}(v)
这样，u 中最暗的像素被赋予 v 中最暗的值，u 中第二暗的像素被赋予 v 中第二暗的值，依此类推。由于排序后的数组决定了直方图的形状，u_{\text{new}} 必然具有与 v 相同的直方图。
实验步骤
使用 np.argsort 获取排序索引，使用 np.sort 对数组排序，然后按照上述算法构造新图像 u_{\text{new}}。分别显示原始图像、目标图像、匹配后的图像及其直方图，并对比匹配前后的差异图像。
结果分析
上方四幅图像展示了直方图匹配的效果。第一幅是原始图像 u，较暗；第二幅是目标图像 v，较亮；第三幅是将 u 的直方图匹配到 v 后的结果 u_{\text{new}}，可以看到其亮度和对比度与 v 非常接近；第四幅是新的差异图 |u_{\text{new}} - v|，相比Part 1中的 |u - v| 明显变暗，说明差异大幅减小。
u 的直方图主要集中在低灰度区域，v 的直方图峰值更高（图像更亮）。得到的u_{\text{new}} 的直方图与 v 的直方图形状一致，差异分布对比图显示（|u_{\text{new}} - v|）曲线几乎集中在0附近，说明匹配后两图的像素值非常接近，证明直方图匹配有效地消除了曝光差异。
Part 3: 线性变换替代方案
实验目的
对于同一场景不同曝光的图像，如果两张图像仅因曝光不同而产生灰度差异，理论上它们之间应该存在近似的线性关系 v \approx k \cdot u + b。因此可以尝试通过匹配两图的均值和标准差来构造线性变换：
其中 \mu_u, \sigma_u 是图像 u 的均值和标准差，\mu_v, \sigma_v 是图像 v 的均值和标准差。这个变换将 u 标准化后再按 v 的统计特性进行缩放和平移。
实验步骤
分别计算两图的均值和标准差，应用上述线性变换得到 u_{\text{linear}}，并与目标图像 v 进行对比。
结果分析
可见简单的线性变换已经能够获得不错的效果
Part 4: 用直方图规定化实现均衡化
实验步骤
使用 np.linspace(0, 255, n_pixels) 生成一个均匀分布的参考数组，其中 n_pixels 是图像的总像素数。然后应用Part 2中的直方图匹配算法，将原图像与均匀数组进行匹配。同时使用累积直方图方法（3.3节的标准均衡化）计算另一个结果，以便对比两种方法。
结果分析
可以观察到两种均衡化方法产生的结果基本一致，都表现出增强的对比度
3.5 抖动
Part 1: 图像量化
实验目的
抖动是一种在有限颜色数目下模拟更多灰度级的技术，最早用于只能输出黑白两色的打印设备。
实验步骤
使用 quantize(im, n) 函数将图像分别量化为 n = 16, 8, 4, 2 个灰度级，观察量化级数减少对图像质量的影响。
结果分析
随着从256级到2级，量化效果越来越丢失灰度信息，细节严重丢失
Part 2: 简单阈值处理与抖动对比
实验目的
比较两种将灰度图像转换为二值图像的方法：简单阈值处理和抖动（Dithering）。简单阈值处理直接将灰度值与阈值比较，大于等于阈值的像素变白，小于阈值的变黑。抖动方法则是先向图像添加随机噪声，再进行阈值处理。噪声的引入使得边界处的像素有一定概率变白或变黑，从而通过黑白点的疏密来模拟灰度渐变。
实验步骤
使用 seuil(im, 128) 对原图进行阈值处理得到二值图像。对于抖动，先用 noise(im, 40) 添加标准差为40的高斯噪声，再进行阈值处理。同时显示局部放大图以便观察细节差异。
结果分析
简单阈值的结果图细节信息不足，而抖动处理结果更加清晰，这是因为抖动使用空间分辨率换取灰度分辨率，增加了区域密度
Part 3: 抖动的概率分析
实验目的
从概率角度理解抖动的工作原理。设原始像素灰度值为 x，添加的高斯噪声服从 \mathcal{N}(0, \sigma^2)，阈值为128。则该像素变为白色的概率为：
其中 \Phi 是标准正态分布的累积分布函数。这个概率与原始灰度值 x 之间的关系决定了抖动效果的质量。
实验步骤
绘制 P(\text{white}) 关于灰度值 x 的曲线，并比较不同噪声标准差 \sigma = 10, 20, 40, 60 对曲线形状的影响。
结果分析
Part 4: 不同噪声强度的抖动效果
实验目的
验证Part 3中的理论分析，通过实验观察不同噪声强度对抖动效果的影响。
实验步骤
分别使用 \sigma = 10, 20, 40, 80 的高斯噪声进行抖动处理，与简单阈值处理的结果进行对比。
结果分析
随着噪声强度的增加，过小的噪声抖动不足，过大则噪声过度。因此要根据具体情况选择最优的 \sigma 值
3.6 相邻灰度级差异
Part 1: 计算图像梯度
实验目的
研究图像中相邻像素之间灰度级差异的统计特性。定义水平方向梯度为相邻像素的差值：
同理，垂直方向梯度为：
梯度图像能够反映原图像的边缘信息：在平坦区域梯度接近零，在边缘处梯度值较大。
实验步骤
使用 gradx 和 grady 函数分别计算水平和垂直方向的梯度图像，并进行可视化。由于梯度值可正可负，显示时灰色表示零值，亮色表示正值，暗色表示负值。
结果分析
水平梯度 g_x 对垂直边缘敏感，垂直梯度 g_y 对水平边缘敏感。两个梯度图像的组合包含了图像的完整边缘信息。
Part 2: 梯度的直方图
实验目的
观察梯度值的统计分布特性。如果将梯度值视为随机变量，其直方图就是该随机变量的经验分布。
实验步骤
分别绘制水平梯度 g_x、垂直梯度 g_y 以及合并后所有梯度值的直方图，观察分布的形态特征。
结果分析
Part 3: 对数坐标下的直方图
实验目的
使用对数坐标更清晰地观察梯度分布的尾部特性。如果分布是高斯分布 p(x) \propto e^{-x^2/(2\sigma^2)}，则对数直方图应呈现抛物线形状，因为 \log p(x) \propto -x^2。通过对比实际分布与高斯分布的差异，可以揭示自然图像梯度的统计特性。
实验步骤
将梯度直方图以线性坐标和对数坐标分别显示，观察曲线形状的差异。
结果分析
线性坐标下的梯度直方图难以观察尾部细节，对数直方图可以看到振荡形式的尾部
Part 4: 与高斯分布和拉普拉斯分布的对比
实验目的
定量比较图像梯度的实际分布与两种理论分布：高斯分布和拉普拉斯分布。高斯分布的概率密度函数为：
拉普拉斯分布的概率密度函数为：
两者的主要区别在于：高斯分布在对数坐标下呈抛物线（\log p_G \propto -x^2），而拉普拉斯分布在对数坐标下呈V形直线（\log p_L \propto -|x|）。
实验步骤
计算梯度的均值和标准差，用相同参数生成高斯分布和拉普拉斯分布的理论曲线，与实际梯度直方图进行对比。分别在线性坐标和对数坐标下进行可视化。
结果分析
可见拉普拉斯分布和实际分布更接近
Part 5: 不同距离像素差异的分布
实验目的
研究当计算差异的像素距离增大时，分布会如何变化。定义距离为 d 的差异为：
当 d 增大时，两个像素之间跨越更多区域，可能经过更多的边缘，因此差异值的方差应该增大。
实验步骤
分别计算 d = 1, 2, 5, 10 时的像素差异，并在对数坐标下显示其直方图。
结果分析
随着距离 d 增大，分布明显变宽，产生较大的灰度差异，但分布曲线形状不变，仍然表现为尖峰+ 重尾
4.1 频谱可视化
Part 1: 基本频谱显示
实验目的
傅里叶变换将图像从空间域转换到频率域，揭示图像中各个空间频率分量的强度。对于二维图像 I(x, y)，其二维傅里叶变换定义为：
频谱是傅里叶变换的幅度 |F(u, v)|。频谱图像中，中心对应零频率（图像的直流分量，即平均亮度），离中心越远对应越高的空间频率（越精细的细节）。
实验步骤
使用 np.fft.fft2 计算二维FFT，np.fft.fftshift 将零频率移到图像中心。由于频谱的动态范围极大（中心的低频能量远大于边缘的高频能量），通常需要取对数 \log(1 + |F|) 来压缩动态范围以便观察。
结果分析
线性频谱由于低频分量的能量远大于高频分量，因此线性显示无法同时呈现两者，几乎全黑色，对数显示频谱中心最亮（低频能量最强），且有十字形或斜向条纹，这是由于图像边界不连续造成的伪影产生的
Part 2: 不同图像的频谱对比
实验步骤
分别计算 Lena 图像和地图图像（carte_nb.tif）的频谱，使用对数显示进行可视化对比。
结果分析
Part 3: Hamming 窗的作用
实验目的
图像在进行傅里叶变换时被隐式地视为周期信号，如果图像的左右边缘或上下边缘灰度值不连续，这种"周期延拓"会导致频谱中出现十字形伪影。Hamming 窗通过将图像边缘平滑过渡到零来消除这种不连续性。二维 Hamming 窗定义为：
窗函数在图像中心为最大值，向边缘逐渐衰减到零。
实验步骤
将原图像乘以 Hamming 窗，分别计算加窗前后的频谱并进行对比。同时显示 Hamming 窗本身和两个频谱的差异图。
结果分析
加窗后的图像边缘变暗，频谱十字形条纹基本消失，证实了 Hamming 窗确实有效地消除了边界伪影。
Part 4: 条纹图像的频谱
实验目的
分析具有强周期性的条纹图像的频谱特征。条纹图像由于其规则的空间周期性，在频谱中会产生离散的峰值，这些峰值的位置和方向与条纹的频率和方向直接相关。
实验步骤
读取条纹图像（若不存在则合成一幅斜条纹图像），分别计算加窗前后的频谱，并放大频谱中心区域以便观察峰值结构。
结果分析
Part 5: 下采样对频谱的影响
实验目的
研究图像下采样（降低分辨率）对频谱的影响。下采样是指每隔若干个像素取一个样本，例如2倍下采样就是每隔1个像素取1个，图像尺寸缩小为原来的一半。根据奈奎斯特采样定理，如果原图像中存在高于新采样率一半的频率分量，下采样会导致混叠（aliasing）现象——高频信号被错误地解释为低频信号。
实验步骤
对原始 512 \times 512 图像分别进行2倍下采样（得到 256 \times 256）和4倍下采样（得到 128 \times 128），使用 im[::2, ::2] 和 im[::4, ::4] 实现。分别计算三幅图像的频谱并进行对比。
结果分析
下采样后，频谱的像素数量减少，但频谱所代表的频率范围不变，那么导致频谱的密度降低，且发生了频谱折叠（aliasing），使得结果图非常不清晰
4.2 振铃效应
Part 1: 理想低通滤波器
实验目的
理想低通滤波器在频域中直接截断高于截止频率的所有分量，其频率响应为：
其中 f_c 是截止频率。这种滤波器在频域具有完美的截止特性，但会在空间域产生振铃效应（Ringing），也称为吉布斯现象（Gibbs phenomenon）。
实验步骤
使用 filterlow 函数对图像应用理想低通滤波器，截止频率设为最高频率的四分之一。观察滤波后的图像，特别是边缘附近的振铃现象。同时显示滤波前后的频谱以及滤波器的频域掩模。
结果分析
滤波后的频谱只保留了中心的矩形区域，高频分量被完全置零，可看到明显的振铃效应
Part 2: 高斯低通滤波器对比
实验目的
高斯低通滤波器使用高斯函数作为频率响应，在频域具有平滑的过渡而非尖锐的截止：
由于高斯函数的傅里叶变换仍是高斯函数，高斯滤波器在空间域也是平滑衰减的，不会产生振荡，因此可以避免振铃效应。
实验步骤
使用 filtergauss 函数对同一图像应用高斯低通滤波，并与理想低通滤波的结果进行对比。特别关注局部放大图中边缘区域的表现。
结果分析
理想低通滤波后，帽子边缘出现了明显的波纹状振铃，严重影响了图像质量。高斯低通滤波后，边缘同样变得模糊，但过渡是平滑的，没有波纹状伪影
Part 3: 滤波器形状对比分析
实验目的
从频域和空间域两个角度深入理解两种滤波器产生不同效果的原因。
实验步骤
分别构造理想低通和高斯低通滤波器的频域掩模，通过逆傅里叶变换计算它们的空间域冲激响应。分别以二维图像和一维切片的形式显示，以便直观比较。
结果分析
理想低通滤波器存在明显的不连续性，高斯滤波器从中心向外平滑衰减，没有不连续点。
理想低通滤波器的冲激响应中心有一个亮点，周围环绕着逐渐衰减的明暗交替的环，这就是sinc函数的二维形式，其振荡的旁瓣正是造成振铃效应的原因。高斯滤波器的冲激响应只有中心一个亮点，没有任何振荡结构。