第2部分

问题1

在这个问题中，设计一个噪声降低系统，旨在抑制电生理信号中的眼部伪影。该系统基于使用最小均方（LMS）算法的自适应噪声消除技术。观测值建模如下：

其中 s(n) 表示感兴趣的信号，而 b_1(n) 和 b_2(n) 对应于噪声分量。b_2(n) 是与 b_1(n) 相关的参考信号。LMS算法允许迭代调整滤波器 h 的系数，以最小化二次均方误差并估计信号 s(n)，从而有效抑制 b_1(n)。

LMS算法按以下步骤实现：

1. 生成一个正弦信号 s(n) 和一个高斯白噪声 b_2(n)。
2. 使用传递函数 H(z) 滤波 b_2(n) 以产生 b_1(n)。
3. 使用 y_1(n) 和 y_2(n) 迭代调整滤波器 h 的系数，从而最小化误差信号。

获得的结果将根据步长 \mu 进行分析，并在后续章节中计算稳态误差。

下面的图示说明了LMS算法实现过程中使用和获得的不同信号：正弦信号 s(n)、滤波噪声 b_1(n)、含噪观测 y_1(n)，以及估计信号 \hat{s}(n) 和相关的二次误差，分别对应 \mu = 0.01 和 \mu = 0.0005。

图1.1：正弦信号 s(n)

图1.2：含噪观测 y_1(n)

图1.3：用于伪影抑制的生成信号

我们对图1.3中的两幅图进行比较。在两幅图中，正弦信号和滤波噪声 b_1(n) 生成保持相同。第一个表示具有恒定幅度（A = 2）和固定频率（100 Hz）的感兴趣信号，第二个是从高斯白噪声（b_2(n)）生成的噪声。\mu 的值不直接影响这些信号。事实上，s(n) 是在评估LMS算法性能时使用的恒定参考信号。因此，这里没有观察到显著差异，这为比较 \mu 对其他信号的影响提供了基础。

观测信号 y_1(n) 在两幅图中相同，因为它在应用LMS算法之前定义。该信号结合了正弦信号和噪声，噪声引起的波动在两种情况下都可见。这种相似性强调了最终结果的差异（例如，估计信号）不是来自输入数据，而是来自算法根据 \mu 值处理这些数据的方式。

在估计信号 \hat{s}(n) 的层面上，\mu 的影响变得明显。对于两个 \mu 步长，在最初的几次迭代中，可以看到对于两个 \mu 步长，估计信号都接近观测信号，这是正常的，因为信号无法在仅几次迭代中收敛，因为步长非常小。可以注意到较小步长（\mu = 0.0005）的变化更平缓。当达到最后的时间步时，估计信号近似类似于正弦信号，但残余振荡持续存在，这反映了滤波器系数适应中的不稳定性。在两种情况下，收敛都相当缓慢，尽管理论上，步长 \mu = 0.01 应该稍微更快，这说明了适应速度和精度之间的折衷：较小的 \mu 值有利于更好的稳定性，但以速度为代价。

这些观察直接体现在二次误差中。对于 \mu = 0.01，误差在开始时快速减小，但重要的波动在整个过程中持续存在，表明适应不稳定。相反，对于 \mu = 0.0005，误差以渐进方式减小，并在收敛后达到相对更稳定的水平。因此，较小的 \mu 值保证了更有效的噪声抑制和更好的感兴趣信号估计。

因此，这两幅图突出了 \mu 对LMS算法性能的直接影响。较大的值（0.01）允许快速适应，但引入振荡并降低精度。相反，较小的值（0.0005）确保更好的稳定性和更高的精度，尽管它减慢了适应速度。根据应用的要求，必须在速度和稳定性之间找到折衷。在这种特定情况下，\mu = 0.0005 似乎是保证低二次误差和有效噪声抑制的最佳选择。

问题2

在这个问题中，我们继续探索LMS算法在伪影抑制背景下的应用。目标是在将其应用于真实癫痫信号之前，测试算法在模拟数据上的行为。

LMS算法使用长度为 M = 20 的自适应滤波器实现。我们将评估其在不同适应步长参数 \mu 值下的性能，特别是 \mu = 0.01、\mu = 0.005、\mu = 0.001 和 \mu = 0.0005。最后，将针对两个特定时间范围绘制输出信号：前100个样本（n = 1 到 n = 100）和最后100个样本（n = 19900 到 n = 20000）。

图1.4：\mu = 0.01

图1.5：\mu = 0.005

图1.6：估计信号与真实信号的比较

图1.7：\mu = 0.001

图1.8：\mu = 0.0005

图1.9：估计信号与真实信号的比较

在图1.6和图1.9中，我们比较了真实信号 s(n) 与通过LMS算法获得的估计信号 \hat{s}(n)，针对不同的适应步长值。

对于 \mu = 0.01 和 \mu = 0.005，可以看到估计值快速采用真实信号的形式。然而，这种快速性是以初始阶段的重要振荡为代价的。在稳态阶段（从 n = 19900 到 n = 20000），估计信号总体上接近真实信号，但残余波动仍然存在，略微降低了精度。

对于 \mu = 0.001 和 \mu = 0.0005，收敛变得更慢，特别是在最初时刻。估计信号需要更多时间来跟随真实信号，但振荡非常小，这表明滤波器系数的适应更渐进、更稳定。在稳态阶段，估计信号几乎与真实信号重叠，提供了几乎完美的精度和完全没有残余波动。

这些结果显示了 \mu 对LMS算法性能的直接影响。较大的 \mu 值（0.01或0.005）允许快速收敛，但引入振荡，特别是在初始阶段，并且在稳态阶段精度略有降低。相反，较小的 \mu 值（0.001或0.0005）保证了更好的稳定性和稳态阶段更高的精度，尽管初期适应较慢。

总之，\mu 值的选择必须根据应用的具体需求来指导。如果快速收敛是优先考虑的，可以使用较大的 \mu 值，接受残余振荡。相反，对于要求更高精度和稳定性的应用，如生物医学信号处理，较小的 \mu 值更可取。在这种情况下，\mu = 0.0005 似乎是最佳折衷，提供了最大精度和长期有效的噪声抑制。

问题3

我们继续分析LMS算法的性能，通过检查二次误差随时间的演变。目标是评估参数 \mu 值的选择如何影响算法以精确和稳定的方式估计感兴趣信号 s(n) 的能力。

二次误差由项 (s - \hat{s})^2 定义，其中 \hat{s} 是算法估计的信号。通过绘制所有时刻的误差，我们可以可视化算法的收敛速度以及稳态阶段达到的稳定性。快速收敛表现为误差快速减小，而稳态阶段的低误差值反映了信号的精确估计。

该分析还允许突出与 \mu 选择相关的速度和稳定性之间的折衷。较大的 \mu 值应该允许快速适应，但可能在误差中产生重要波动，而较小的 \mu 值将提供增强的稳定性，但以适应速度为代价。

图：不同 \mu 步长的二次误差

图中显示的图表展示了不同参数 \mu 值下二次误差随时间的演变。

对于 \mu = 0.01，二次误差从最初时刻开始快速减小，这表明LMS算法快速收敛。然而，这种快速性表现为在整个执行期间（包括稳态阶段）的重要波动。这些振荡反映了滤波器系数适应中的不稳定性，使信号估计不够精确。尽管误差总体上保持较低，但这种不稳定性可能限制算法对需要高精度应用的有效性。

当 \mu 减小到 0.005 时，观察到二次误差更渐进的减小。尽管初始收敛比 \mu = 0.01 稍慢，但波动得到了衰减。这显示了算法稳定性的改善，同时保持了合理的收敛速度。

对于 \mu = 0.001，收敛速度进一步降低。初始误差更高并逐渐减小。然而，在稳态阶段，二次误差达到非常低的值并保持稳定，没有显著波动。这证明了信号估计中非常好的精度，尽管这种增强的稳定性是以更慢的适应为代价获得的。

对于 \mu = 0.0005，收敛极其缓慢，初始误差很大，需要更多时间来减小。在最初时刻，二次误差保持较高，这表明LMS滤波器系数的适应非常渐进。然而，一旦进入稳态阶段，误差几乎为零，稳定性达到最大。算法达到最佳精度，有效地抑制了噪声。

总体而言，这些结果显示了 \mu 选择对LMS算法性能的影响。较高的 \mu 值（0.01和0.005）允许快速收敛，但以重要波动和稳态阶段降低的精度为代价。相反，较小的 \mu 值（0.001和0.0005）提供了卓越的稳定性和精度，有效抑制了振荡，但它们显著减慢了初始适应速度。

因此，\mu 的选择取决于应用的具体需求。如果速度是优先考虑的，\mu = 0.01 或 \mu = 0.005 是可接受的选择，尽管存在残余振荡。对于稳定性和精度至关重要的敏感应用，\mu = 0.0005 或 \mu = 0.001 明显更可取。

问题4

（见问题2和3）

问题5

我们通过计算稳态误差来评估LMS算法的性能，该误差通过对每次模拟的最后500个点的二次误差取平均值来确定。结果显示在下表中：

表：不同 \mu 值的平均稳态误差

从表中可以看出，稳态误差随着 \mu 值的减小而减小。较大的 \mu 值（0.01）导致相对较高的稳态误差（0.501801），这表明由于算法的残余振荡导致稳态阶段的不稳定性。这表明，即使在收敛后，算法也没有达到信号的精确估计。

当 \mu 减小到 0.005 时，稳态误差显著减小（0.344093）。这显示了稳态阶段稳定性和精度的改善，尽管与较小的 \mu 值相比，误差仍然相对较高。

对于较小的 \mu 值（0.001和0.0005），稳态误差达到非常低的水平（分别为0.121882和0.094249）。这些值反映了信号估计中的高精度，由于稳态阶段几乎完全没有波动。算法能够提供可靠和稳定的估计，这对于要求精度的应用至关重要。

问题6a

这里，目标是处理模拟脑活动和生理伪影的信号。感兴趣的信号是癫痫棘间波序列（s_1），与来自两个主要来源的伪影混合：眼动（s_2）和肌肉活动（s_3）。

对于这第一部分，我们必须从提供的文件 signals.mat 加载这些信号，该文件包含三个信号。我们寻求分离它们并隔离棘间信号。

图：signals.mat 中包含的不同信号

在图中，第一个图表示信号 s_1，对应于棘间波。该信号显示了相当规则间隔的明显尖峰，随后是小的阻尼振荡。尖峰的幅度在 [-5, 5] 附近变化，在峰值之外有较小的振荡。这是一个相对干净的信号，似乎没有被显著伪影污染。

第二个图表示信号 s_2，对应于眼动伪影。该信号更不规则，呈现缓慢变化和突然跳跃。眼动通过显著的幅度变化表现出来，如在索引1200和4500附近观察到的那些。这些伪影虽然不如信号 s_1 的尖峰频繁，但干扰了脑电图信号的解释，因为它们引入了低频分量。s_2 的幅度通常在 [-6, 2] 之间振荡，这可能掩盖信号 s_1 的某些重要特征。

第三个图展示了信号 s_3，对应于肌肉活动。该信号比前两个信号明显更嘈杂。它呈现高度变化，表明显著干扰。幅度主要在 [-4, 3] 之间振荡，密度比 s_1 或 s_2 大得多。这些肌肉伪影增加了随机噪声，进一步复杂化了脑电图信号的分析。

这三个信号显示出使它们可识别的不同特征。s_1 是一个几乎周期性且相对干净的信号，代表感兴趣的脑活动。相反，s_2 是与眼动相关的低频伪影，具有缓慢的跳跃和明显的变化。最后，s_3 由高频分量主导，由于肌肉活动，构成了主要的噪声源。这最后两个信号（s_2 和 s_3）必须被衰减或抑制以隔离 s_1。

问题6b

我们想要从三个信号 s_1、s_2 和 s_3 构建一个时空混合矩阵 \mathbf{X}。这些信号虽然不同，但相互作用形成混合观测，类似于脑电图分析期间记录的原始数据。\mathbf{X} 的构建将允许模拟这些混合物，并作为后续源分离步骤的基础。

矩阵 \mathbf{X} 通过三个信号的加权线性组合获得，遵循以下关系：

其中：

• \mathbf{S} 是包含信号 s_1, s_2, s_3 的矩阵。
• \mathbf{A} 是时空混合矩阵，由其列向量 \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3 定义，表示源对观测的各自贡献。
• \sigma_1 和 \sigma_2 根据每个源的特征调整信噪比（SNR）。

我们有 \sigma_1 = \sigma_2 = \sigma，根据指定的SNR（\text{SNR} = 5 \, \text{dB}）和感兴趣信号 s_1 的标准差 \sigma_s = 1 计算。这些参数允许向信号添加受控的噪声水平以模拟真实条件。

此步骤用于通过综合结合感兴趣信号和伪影来建模嘈杂的脑电图数据。

图：矩阵X的时空混合

图示说明了从时空混合矩阵 \mathbf{X} 生成的两个混合信号 X(1, :) 和 X(2, :)。这些信号是三个初始源 s_1、s_2 和 s_3 的线性组合的结果。

在第一个图中，信号 X(1, :) 显示出棘间波 s_1 的显著贡献，通过清晰的周期性峰值可识别。此外，可以看到较小幅度的波动，特别是在索引1000和1200之间，对应于 s_2 的添加，以及整个信号中对应于 s_3 的波动。信号的总体幅度包含在-0.08到0.08的范围内，这反映了应用的归一化。

在第二个图中，信号 X(2, :) 也呈现棘间波，尽管与 X(1, :) 相比这些波略有衰减。这可以通过混合矩阵 \mathbf{A} 的系数对源贡献的不同加权来解释。此外，X(2, :) 似乎更多地受到伪影 s_2 和 s_3 的影响。然而，信号的总体幅度与 X(1, :) 相当，具有类似的归一化。

这两个信号揭示了相似性（由于三个相同源的存在）和差异（由混合矩阵 \mathbf{A} 的系数产生）。它们允许真实地建模嘈杂的脑电图记录，其中棘间波与眼部和肌肉伪影共存。

问题7

我们想要利用文件"Ref_Ocl.mat"中提供的参考信号 b_2(n) 来抑制 X(1,:) 和 X(2,:) 中存在的眼部伪影（s_2）。假设该参考信号与眼部伪影 b_1(n) 相关，而眼部伪影本身影响混合信号。

为此，我们实现基于LMS（最小均方）的自适应算法。它将使我们能够最小化 X(1,:) 和 X(2,:) 中眼部伪影的影响。

图：LMS滤波器对原始信号、混合信号和去噪信号的比较

如图所示，前五个图展示了处理前的原始信号和混合物。第一个图（s_1）表示癫痫感兴趣信号。第二个（s_2）显示眼部伪影。第三个（s_3）对应于肌肉伪影。两个混合图（X(1,:) 和 X(2,:)）以不同比例组合这些源信号。可以观察到 s_1 的棘间波被眼部和肌肉伪影的贡献变形，伪影的比例取决于混合时系数的权重。这些混合物代表了真实记录，其中不同的源交织在一起。

最后两个图（\hat{X}(1,:) 和 \hat{X}(2,:)）表示应用SOBI方法抑制眼部伪影（s_2）后的去噪信号。在两种情况下，癫痫信号 s_1 的棘间波被更好地隔离，眼部伪影的贡献减少。然而，肌肉伪影（s_3）的痕迹仍然存在。

分离质量在很大程度上取决于两个因素：参数 \mu（调整伪影抑制和感兴趣信号保留之间的平衡）和信号初始混合时使用的系数加权。\mu 的不当选择可能导致眼部伪影抑制不完全，或相反地改变癫痫信号。比较 \hat{X}(1,:) 和 \hat{X}(2,:)，可以看到眼部伪影的抑制总体上是成功的，但根据设置效果有所不同。

鉴于我们有原始信号及其估计，我们比较不同 \mu 值下的二次误差。我们使用真实值 X(1,:) 并减去LMS滤波后的值 \hat{X}(1,:)。

图：\mu 步长对LMS后二次误差演变的影响

根据图，我们可以看到 \mu 对4个不同步长情况下二次误差的影响。可以观察到，对于较大的 \mu（\mu = 0.001），误差更高，但收敛速度更快。相反，对于较小的 \mu（\mu = 0.0005），步长更小，算法变得更谨慎，二次误差减小，但收敛速度降低。因此，有必要找到平衡收敛速度和稳态误差的最优 \mu，或根据实际需求选择合理的 \mu。

第3部分

问题1

本部分的目标是对混合数据 \hat{X} 进行预白化以便于源分离。首先，通过减去均值对数据进行中心化，保证零均值。然后计算协方差矩阵 R_X 以识别数据维度之间的关系。

进行特征值（\Lambda）和特征向量（U）分解。特征值按降序排序，特征向量重新排序以优先考虑主方向。通过结合特征值（\lambda^{-1/2}）归一化和通过 U^\dagger 旋转来构建预白化算子 W。这允许产生白化数据 Z，这些数据是去相关的并且在方差上归一化的。

图：白化后信号X的通道1和2

图中的图表呈现了通过PCA应用预白化后白化数据（Z）的两个分量。

第一个分量表示癫痫信号（s_1）的棘间波。特征峰值清晰可见且明确，这表明该分量已被正确识别为主导分量。在峰值之间，可以观察到低幅度噪声，但它不会干扰信号的主要特征。这表明白化步骤成功地减少了与其他信号的相关性，同时保留了癫痫信号的关键元素。

第二个分量比第一个更嘈杂。它包含快速和不规则的变化，是肌肉伪影（s_3）或眼部伪影其他残留的特征。尽管这些变化似乎与第一个分量去相关，但它们的动态显示部分噪声或伪影尚未完全隔离。然而，方差是均匀的，正如整个曲线中相对均匀的幅度所证明的。

总体而言，白化已经起作用。两个分量（Z(1,:) 和 Z(2,:)）被很好地分离并且在统计上去相关。第一个分量明确与癫痫信号（s_1）相关，而第二个似乎主要由肌肉信号（s_3）组成。

问题2

我们现在应用SOBI（二阶盲辨识）方法来分离独立源，特别是棘间波和肌肉伪影。

第一步包括估计不同时间延迟 \tau_k (k=1:10) 处的空间协方差矩阵，通过计算白化分量 Z[n] 与其延迟版本 Z[n+\tau_k] 之间的关系。这些矩阵捕获混合信号的统计特性。

然后，通过使用算法"jad.m"联合对角化协方差矩阵来获得新的混合矩阵 Q。这个关键步骤识别保证源统计独立性的主方向。

估计的混合矩阵 Q 由下式给出：

矩阵 Q 几乎是正交的，对角项接近1（0.9901），表明主源的有效分离。非对角项（0.1407和-0.1407）揭示了弱的残余相关性，表明SOBI减少了分量之间的依赖性，但仍有轻微的干扰。

接近单位矩阵的值表明源最初混合很少或被预白化很好地准备。

现在目标是从白化数据和估计的混合矩阵 \hat{Q} 重建和绘制源信号。它应用于白化数据 Z 以估计独立源 \hat{S}，包括脑活动和肌肉伪影。

图：通过SOBI方法估计的源信号

我们可以在图中看到应用SOBI方法后两个估计源信号的图表。

第一个分量对应于包含感兴趣棘间波的脑活动。特征峰值清晰、明确且无噪声。这表明SOBI方法成功地将癫痫信号与肌肉伪影和干扰隔离。可以注意到低幅度噪声的显著抑制。

第二个分量对应于肌肉伪影。信号更随机，由快速变化主导，是肌肉运动的特征。与iEEG信号不同，这个信号保持嘈杂性质，但它与第一个分量明显不同。

结果显示有效的分离，与初始混合数据相比，iEEG信号中的噪声大大减少。SOBI方法通过最小化它们之间的干扰隔离了独立源。

为了进一步验证源分离，我们对提取的信号和原始源信号进行相关性分析。iEEG信号的高相关系数将确认SOBI很好地提取了棘间波，而另一个分量的低相关性将表明肌肉伪影的成功分离。

表：原始信号与估计信号之间的相关性比较

该表呈现了原始信号（s_1、s_2、s_3）与估计信号（\hat{S}(1,:)、\hat{S}(2,:)）之间的相关系数。这些相关性允许评估通过SOBI方法获得的源分离质量，在预先抑制眼部信号（s_2）之后。

相关性 \text{corr}(s_1, \hat{S}(1,:)) = -0.9989 显示癫痫信号（s_1）与 \hat{S}(1,:) 之间非常强的对应关系。这确认了SOBI方法有效地隔离了iEEG信号，同时最小化了与其他信号的干扰。相反，\text{corr}(s_1, \hat{S}(2,:)) = -0.0074 接近零，表明 s_1 独立于 \hat{S}(2,:)，验证了癫痫源和肌肉源的清晰分离。

低相关性 \text{corr}(s_2, \hat{S}(1,:)) = 0.0291 表明 \hat{S}(1,:) 不包含眼部伪影（s_2）的残留，这是验证的，因为我们在前面的问题中删除了它们。\text{corr}(s_2, \hat{S}(2,:)) = -0.1303 也是如此。

相关性 \text{corr}(s_3, \hat{S}(1,:)) = -0.0055 表明 \hat{S}(1,:) 独立于肌肉信号（s_3），这与其先前消除一致。相反，\text{corr}(s_3, \hat{S}(2,:)) = -0.9598 揭示了 \hat{S}(2,:) 与 s_3 之间的强负相关性，这是完全合理的，因为 \hat{S}(2,:) 由混合不同源时引入的肌肉信号 s_3 组成。

负相关性，如 \text{corr}(s_3, \hat{S}(2,:)) = -0.9598，可以通过盲源分离（BSS）算法中符号不确定性的性质来解释。这些算法，如SOBI，不考虑信号的极性，而只考虑它们的统计独立性。因此，提取的分量可能相对于其原始信号具有反转的符号，而不影响分离质量。在这种情况下，\hat{S}(2,:) 有效地捕获了 s_3 的残留，但具有极性反转。这对信号解释没有影响，因为主要目标是分离源。

结果显示有效的分离：

• \hat{S}(1,:) 是 s_1 的极好近似，很好地与肌肉和眼部伪影隔离。
• \hat{S}(2,:) 捕获眼部伪影（s_2）和 s_3 的残留，但由于SOBI中的符号不确定性而具有负相关性。

第4部分

初步问题

我们想要使用各自的iEEG信号来量化两个神经集合之间的功能连接性。这种连接性使用相干函数估计。它允许通过分析频率内容的相似性来评估两个随机过程之间的联系。

让我们证明，对于两个中心化的随机过程 u(n) 和 v(n)，在二阶平稳的情况下，相干函数 \rho_{uv}(f) 满足 0 \leq |\rho_{uv}(f)|^2 \leq 1。此属性保证相干性是归一化和可解释的度量。为此，过程 z(n) 定义为两个过程 u(n) 和 v(n) 的线性组合，具有复参数 \lambda。该过程功率谱密度（PSD）的数学分析将允许验证此属性，通过显示 |\rho_{uv}(f)|^2 保持在预期区间内。

数学证明：

我们设计过程 z(n) 为：

使用线性性质和交叉谱密度的定义，我们有

该过程的频率表示是 Z(f)，其功率谱密度由下式给出

因此，

展开后，我们得到：

但它是二阶过程，因此：

从那时起，表达式变为：

谱密度 \gamma_{zz}(f) 永远不能为负，即对于任何频率 f，我们有：

我们想要选择适当的 \lambda 来使这个不等式尽可能"紧"，以便对 \gamma_{uv}(f) 获得强约束。

典型方法包括选择 \lambda 以消除 \gamma_{uv}(f) 的相位，使交叉项为实数和负数，以接近最小值。

设定：

其中 r 是实数，使得 r > 0。（当 \gamma_{uv}(f) = 0 时，|\rho_{uv}(f)| 已经为零，关系是平凡的）。因此，

代入 \gamma_{zz}(f)，我们得到：

由于

交叉项变为：

因此：

此表达式是关于 r 的"抛物线"。设定：

为了保证 \Phi(r) \geq 0 对所有实数 r，判别式 \Delta 必须非正，即：

因此，

除以4，我们得到：

根据相干函数的定义：

我们有：

根据前面的不等式：

得出：

最后，根据范数的定义，|\rho_{uv}(f)|^2 \geq 0 总是成立的。因此，我们证明了：

实验

我们想要分析由向量自回归（VAR）过程建模的两个iEEG信号之间的关系。信号 y_1(n) 和 y_2(n) 根据由离散微分方程表示的动态系统定义，其中每个信号受其自身过去值以及白噪声 w_j(n) 的影响。

信号 y_1(n) 生成为同一信号的前两个样本的线性组合，由特定系数修改，加上白噪声 w_1(n)。同时，y_2(n) 计算为 y_1(n) 的延迟和加权版本，加上第二个白噪声 w_2(n)。这两个信号被解释为模拟的iEEG数据，表示两个神经集合之间的相互作用。

问题1

这里我们只检查 y_1(n) 作为自回归信号，y_2(n) 作为 y_1(n) 的延迟版本。目标是使用Welch方法在四个1024点块上计算和可视化两个信号的功率谱，重叠50%。同时，计算两个信号之间的幅度平方相干（MSC）以评估它们的频率依赖水平。

图：y_1 和 y_2 的功率谱

图：y_1 和 y_2 之间的相干性

图：信号 y_1 和 y_2 的频谱分析和相干性

从图中可以看出，y_1 和 y_2 的功率谱非常相似，但幅度不同。为了确认我们的假设，我们查看表示两个信号之间相干性的图。根据理论分析，可以看到幅度平方相干的平均值为0.99999，我们可以得出结论，如果信号 y_2(n) 只是另一个信号 y_1(n) 的延迟和缩放版本（具有非常低的附加噪声），那么这两个信号之间的线性相关性在所有频率上都将非常强。因此，相干函数 |\rho_{y_1y_2}(f)| 将接近1。

问题2

根据方程(1)中给出的双通道AR模型

可以观察到 y_1(n) 是AR(2)过程，由于系数 0.95\sqrt{2} 和 -0.9025 的组合，在低频处形成主谐振峰。第二个信号 y_2(n) 同时受到 y_1(n-1)（系数为-0.5）和其自身历史项 y_2(n-1)（系数为 0.25\sqrt{2}）的影响。因此，y_2(n) 不仅仅是 y_1(n) 的缩放或延迟版本，而是混合结果，部分由 y_1(n-1) 激发，部分由其自身AR项形成。

图：y_1 和 y_2 的功率谱

图：y_1 和 y_2 之间的相干性

图：部分线性模型中 y_1 和 y_2 的分析

在图中，我们观察到 y_1(n) 和 y_2(n) 的功率谱在区域 f \approx 0.1075 处呈现显著峰值，它们都在那里有重要的能量分布。y_2(n) 的幅度总体上略低于 y_1(n)，这是由于公式中系数的影响。

根据图中的MSC曲线，在主谐振频带（约0.1075附近），相干性接近1，这表明两个通道在该频率处具有最大线性相关性。远离该主频率，MSC显著降低，有时降至0.2或更低，这表明在非谐振区域线性耦合较弱。这可以解释为 y_2(n) 不完全由 y_1(n) 决定，因为噪声 w_2(n) 及其自身的AR(1)项在不同频带带来了额外影响。

问题3

引入由生理模型生成的两个信号（由 ScenarioK1500second1000a.mat 提供）。

图：y_1 和 y_2 的功率谱

图：y_1 和 y_2 之间的相干性

图：y_1 和 y_2 之间的相干性

在图中，由生理模型生成的两个信号在约0.09处的频谱中仍然呈现显著峰值。然而，可以看到它们的相干性（MSC）仅达到约0.37的幅度，这明显低于之前的完全线性或部分线性AR模型。

因此，我们可以观察到这两个信号在频带 \approx 0.1 中具有重要能量。然而，由于其数学模型的复杂性，它们无法达到简单线性耦合或延迟模型中观察到的相干水平。

另一方面，对于高于0.1的频率，相干性几乎为零，这表明两个信号在这些频率处几乎独立，没有显著的线性相关性。

真实的生理模型通常复杂得多，具有高维数据。两个通道之间的耦合通常仅在某些频带中显著，而在其他频带中，信号几乎独立。因此，通过观察 |\rho_{y_1 y_2}(f)|^2 在不同频率的分布，可以量化这两个神经群体在每个频带中的功能耦合强度。