初步说明：复矩阵。 如果 M 是一个复元素的矩阵，那么 M^\dagger 表示它的共轭转置：M^\dagger = (M^{\top})^\ast = (M^\ast)^{\top}。当 M = M^\dagger 时，我们称 M 为厄米特对称矩阵。如果 M 的元素都是实数，则有 M^\dagger = M^{\top}。
初步结果：梯度和 Hessian 矩阵。 设 M 是一个 N \times N 的厄米特对称方阵，m 是一个大小为 N 的向量。定义从 \mathbb{C}^N 到 \mathbb{R} 的映射 \varphi 和 \psi，对于任意 u \in \mathbb{C}^N：
它们都是二次可微的。它们的梯度分别为：
它们的 Hessian 矩阵分别为：
核磁共振成像（MRI）是一种现代医学成像技术，能够提供高分辨率的图像。从图像重建所涉及的数据处理角度来看，该问题属于“傅里叶综合”（FS）问题的范畴：观测数据集代表了未知对象的不完整（且受噪声污染）的傅里叶变换系数集。
MRI 图像重建问题是一个病态问题
MRI 图像重建问题是病态的，因为我们无法获得目标对象的完整傅里叶变换系数集。由于噪声和实际操作的限制，我们只能获取有限且不完整的频率信息，这意味着在频率域中，特别是高频部分的信息缺失。
因此，在尝试通过反卷积重建图像时，可能存在多个可能的解，解的唯一性无法保证。这使得问题变得病态。
频率的不均匀观测在重建图像中的体现
频率的不均匀观测导致重建图像中缺失某些频率成分。如果低频信息缺失，图像的整体结构信息会丢失；如果高频成分缺失，图像会变得模糊。此外，这可能导致图像中亮度和对比度的不均匀，或者产生伪影和失真。
一维傅立叶综合问题描述
在实践中，FS 问题是在二维或三维域上提出的。然而，我们在一维域上处理它。数学上，我们可以将问题表述为：
其中：
- y \in \mathbb{C}^M 是包含 M 个观测数据的向量，x \in \mathbb{C}^N 是包含 N 个未知数的向量，e \in \mathbb{C}^M 是包含 M 个测量误差的向量。
- F 是归一化的 DFT（离散傅里叶变换）矩阵：F^\dagger F = F F^\dagger = I，其中 I 是大小为 N 的单位矩阵。此外，它是一个对称矩阵，F^{\top} = F。
- T 是截断矩阵：它从 F x 中提取被观测到的傅里叶系数，丢弃未被观测到的。例如，如果 N = 8，M = 3，系统只观测第 1、第 2 和第 4 个系数，那么有：
不同情况下的讨论
如果所有系数都被观测到或者只观测到每两个系数中的一个，对应矩阵 T 的表达式如下:
(1) 如果所有 N 个傅里叶系数都被观测到，那么 M = N。因此，矩阵 T 是一个 N \times N 的单位矩阵 I_N：
(2) 如果只观测到每两个系数中的一个（即观测位置为 1, 3, 5, \dots 的系数），那么 M = \frac{N}{2}（假设 N 为偶数），T 是一个 \frac{N}{2} \times N 的矩阵，在对应于被观测到的傅里叶系数的位置上为 1，其余为 0：
前置计算
接下来我们计算矩阵 T^{\top} T，T T^{\top} 和向量 \bar{y} = T^{\top} y。
以 N = 8，M = 3，观测位置在第 1、第 2 和第 4 个系数为例：
则有：
矩阵 T^{\top} T 为：
矩阵 T T^{\top} 是一个 3 \times 3 的单位矩阵 I：
向量 \bar{y} 为：
这实际上是在对应于被观测到的傅里叶系数的位置上放置观测数据，其余位置为零。
现在我们令 x_0 \in \mathbb{C}^N 为一种特殊情况， x = F^\dagger (I - T^{\top} T) F x_0。对于此 x，我们给出包含观测数据的 y 的表达式:
首先，计算 F x：
然后，
由于 T T^{\top} = I，因此：
因此，观测数据 y 仅包含噪声 e，我们无法从 y 中获取关于 x_0 的任何信息。这表明在这种特殊情况下，无法使用观测数据 y 重建 x_0。
傅里叶综合、内插-外推 和卷积
我们借助变量替换 \overset{\circ}{x} = F x，来证明 FS 问题 的确可以被表述为一个“内插-外推”问题。
首先使用替换 \overset{\circ}{x} = F x，则有：
由于我们只观测到了部分傅里叶系数（内插），任务是估计完整的傅里叶系数集（外推）。这涉及对未知的傅里叶系数进行插值和外推，即在给定某些点的值的情况下，估计其他点的值，这是一个插值问题的本质。
然后我们再令 \tilde{x} = F^\dagger \bar{y}。并计算出 \tilde{x} 和 x 之间的关系，以此来推导出 FS 问题也可以被表述为一个反卷积问题。
首先，\bar{y} = T^{\top} y，因此：
由于 y = T F x + e，代入得：
因为 F^\dagger T^{\top} T F 是一个线性算子作用于 x，所以可以写成：
其中 \tilde{e} = F^\dagger T^{\top} e。
这表明傅里叶综合问题也可以被视为一个反卷积问题，其中 F^\dagger T^{\top} T F 充当卷积矩阵。
因此反卷积任务 是从被模糊的信号 \tilde{x} 中恢复原始信号 x，其中模糊是由系统函数 F^\dagger T^{\top} T F 引起的。
针对以上问题，我们提出一个 x 的经验估计量 \hat{x}_E，可以定义为：
即将未观测到的傅里叶系数设为零，用 \bar{y} 替换完整的傅里叶系数集，然后通过逆傅里叶变换获得 x 的估计。
我们让 \overset{\circ}{x}_E = F \hat{x}_E
由于 \hat{x}_E 是 \tilde{x}，其表达式为：
这解释了为什么它可以被视为一个反卷积问题。在这种情况下，卷积导致图像模糊，细节丢失，分辨率下降。因此，由于傅里叶系数的不完整，经验估计量导致图像分辨率较低。
我们尝试使用最小二乘（LS）方法估计 x。我们从公式 (4) 引入一个准则 J_{\text{LS}}：
J_{\text{LS}} 没有唯一的极小值点
注意
证明
对 J_{\text{LS}}(x) 求导：
\frac{\partial J_{\text{LS}}}{\partial x} = -2 F^\dagger T^{\top} (y - T F x) = 0解得：
F^\dagger T^{\top} T F \hat{x} = F^\dagger T^{\top} y即：
T F \hat{x} = y由于 T 只观测部分傅里叶系数，这意味着矩阵 T F 是秩亏的。因此，方程 T F x = y 没有唯一解。这表明仅使用最小二乘方法无法获得 x 的唯一估计，需要引入正则化项以改善解的唯一性。
我们再计算 J_{\text{LS}}(\tilde{x})
由于 \tilde{x} = F^\dagger \bar{y} = F^\dagger T^{\top} y，则：
J_{\text{LS}}(\tilde{x}) = \| y - T F \tilde{x} \|^2 = \| y - T F F^\dagger T^{\top} y \|^2 = \| y - y \|^2 = 0准则达到最小值 0，但这并不意味着 \tilde{x} 是原始信号的正确重建，表明仅使用最小二乘方法无法获得正确的唯一解。
现在我们尝试使用带惩罚的最小二乘（PLS）方法估计 x。我们引入一个惩罚项 P，考虑到 x 的连续样本之间的差异（在循环情况下，即 x_{N+1} = x_1）
首先构建相应的 PLS 准则 J_{\text{PLS}}
其中 \mu 是正则化参数，控制惩罚项的权重。
矩阵 D 的形式为：
D 是一个 N \times N 的循环差分矩阵，用于计算 x 中相邻元素的差值。
\mu 控制数据拟合项和平滑惩罚项之间的平衡：
- 当 \mu 较大时，惩罚项权重较高，更多地抑制高频噪声，但可能使图像细节模糊。
- 当 \mu 较小时，更侧重于数据拟合，但可能过度拟合噪声。
最小化 J_{\text{PLS}}(x)，有：
对 x 求导并令导数为零：
解得：
因此，
我们令 \overset{\circ}{x} _{\text{PLS}} = F \hat{x} _{\text{PLS}}
由于 F F^\dagger = I，并且 F D F^\dagger 可以对角化 D，因此有：
因为 D 是循环差分矩阵，F D F^\dagger 会产生一个对角矩阵 \Lambda，所以：
因此，
- 当 \mu \rightarrow 0 时，正则化项的影响消失，回到最小二乘准则。此时，解可能不唯一，且容易受到噪声影响。
- 当 \mu \rightarrow +\infty 时，惩罚项的权重极大，所有的频率成分都被抑制，分辨率极低，图像过于平滑，细节完全丢失。
时代不一样了，现在都用深度学习的方法，如卷积神经网络CNN，来自动提取数据特征，从而重建高分辨率的图像。缺点是训练数据要多，学习从不完整或受噪声污染的数据中恢复细节的能力，显著提高图像的分辨率和质量。