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发布于 2026-09-09 / 0 阅读
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卫星导航 TP：GPS 伪距定位（题目、数据说明与问题）

#实验报告

​ 时间：4小时

​ 日期：2023年11月

该研究报告的目标是根据卫星/接收器之间的伪距离测量来计算GPS系统用户的轨迹。问题的难点在于这些测量值与待估参数之间的非线性关系，并且还受到附加测量噪声的干扰。为了克服这些困难，采用了线性化的最小二乘算法版本。在研究算法在不利导航条件下的鲁棒性后，将通过计算几何精度因子 (Dilution of Precision, DOP) 来评估卫星星座的几何结构对GPS性能的影响。

1. 研究报告背景

在本研究中，我们关注一辆配备了GPS的汽车，该车在塔朗斯市(Talence)沿图1所示的路线行驶。在导航中，必须明确指出车辆运动所处的参考系。特别地，两个参考系在本研究中是有用的：

参考系1：

此参考系是GPS导航的地球中心地固(ECEF)参考系，卫星的坐标通常在该参考系中表示。其原点是地球中心O，x轴位于黄道平面(赤道)和格林尼治子午线的交点，z轴与地球极轴重合并指向北极，y轴则定义为与x轴和z轴形成右手坐标系。

参考系2：

此参考系是本地的北东地( NED)坐标系，用于可视化车辆的运动。该坐标系以地面上的某个点P0为中心，其轴分别指向局部垂直方向、北方和东方。

这两个参考系之间的关系在图2中给出。连接两个参考系中向量坐标的公式为：

X^1 = MX^2 + X^1_0\\ 其中X^1_0 = (x_0, y_0, z_0)^T表示点P_0在参考系1中的坐标,变换矩阵M为:\\ M = \begin{pmatrix} - \sin \lambda \cos \phi & - \sin \phi & - \cos \lambda \cos \phi \\ - \sin \lambda \sin \phi & \cos \phi & - \cos \lambda \sin \phi \\ \cos \lambda & 0 & - \sin \lambda \end{pmatrix}\\ 其中 λ 和 φ 分别是参考点P_0的经度和纬度。

![image-20240911175756475](/Users/zehua/Library/Application Support/typora-user-images/image-20240911175756475.png)

![image-20240911175809079](/Users/zehua/Library/Application Support/typora-user-images/image-20240911175809079.png)

2. 回顾：利用最小二乘法计算位置

2.1 最小二乘法算法

最小二乘法算法用于从带噪声的观测值中估计一组未知参数，这些观测值与待估参数线性相关。该问题可通过以下数学方式表述：

Z = H X + w

其中：

  • X 是包含未知参数的状态向量，
  • Z 是观测值向量，
  • w 是观测噪声向量。
最小二乘法的技术是计算X的估计值，记作 \hat{X}，它使得二次误差 J(ξ) = ‖Z − H ξ‖^2 最小。
其估计值满足： \hat{X} = (H^T H)^{-1} H^T Z， 其中 (H^T H)^{-1} H^T 称为伪逆矩阵。

2.2 GPS中的应用

在GPS导航问题中，每时每刻待估参数包括车辆在三维空间中的位置 (x, y, z) 以及接收器的时钟偏移b。它们组成了状态向量 X = (x, y, z, b)^T，并通过伪距离测量与GPS信号的关系表示为：

Y(t) = h_t(x, y, z, b) + w(t)
其中向量\ Y(t) = (Y_1, Y_2, ..., Y_n)^T 是在时刻t可用的n个GPS测量值的集合\\向量 w(t) 是零均值、方差为σ2的高斯白噪声，表示GPS测量噪声
函数 h_t(x, y, z, b) 的形式为:\\ h_t(x, y, z, b) = \begin{pmatrix} \sqrt{(x - x^1(t))^2 + (y - y^1(t))^2 + (z - z^1(t))^2} + b \\ ... \\ \sqrt{(x - x^n(t))^2 + (y - y^n(t))^2 + (z - z^n(t))^2} + b \end{pmatrix} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 其中 (x^i(t), y^i(t), z^i(t)) 是第i个卫星在时刻t的坐标

最小二乘法算法是为线性系统开发的，因此需要对公式 (4) 进行线性化以便应用。通过在参考点 Xr 处进行泰勒展开，我们得到：

Y(t) - h_t(x_r, y_r, z_r, b_r) = H_t (X - X_r) + w(t)\\ 其中 H_t = \nabla h_t 包含了ht对状态向量分量的偏导数
令 Z(t) = Y(t) - h_t(x_r, y_r, z_r, b_r) + H_t X_r，估计问题就可以表示为 (4) 形式

该方法的有效性取决于选择的线性化参考点，不应偏离真实状态向量 X 太远。在GPS导航中，通常选择前一个位置和时钟偏移的估计值作为线性化参考点。

Ht矩阵的系数取决于GPS卫星相对于接收器的位置。该矩阵反映了卫星几何结构对位置估计误差的影响。

3. 精度稀释因子 (DOP)

如前所述，定位误差既依赖于测量的不确定性，也依赖于卫星星座的几何结构。对于同样的测量误差向量，由于卫星相对于接收器的相对位置不同，位置估计误差可能大小不同。卫星星座的影响通过一个称为精度稀释因子 (DOP, Dilution of Precision) 的量化因子来衡量，它定义如下：

RMSE = DOP × σ

其中 σ 是测量噪声的标准差，RMSE 是位置估计的均方根误差:

\text{RMSE} = \sqrt{\mathbb{E} \left[ \|X - \hat{X}\|^2 \right]}

DOP 的表达式可以从最小二乘法的定位问题解中推导。我们回顾如下公式：

\hat{X} = (H_t^T H_t)^{-1} H_t^T Z

因此，位置估计误差满足：

\hat{X} - X = (H_t^T H_t)^{-1} H_t^T w(t)

其中 w(t) 是测量噪声。通过观察：

\mathbb{E} \left[ \|X - \hat{X}\|^2 \right] = \text{Trace}(\Sigma_{\Delta X \Delta X})\ \ \  \ \ \ \ \ \text{avec} \ \Sigma_{\Delta X \Delta X} = \mathbb{E} \left[ (X - \hat{X})(X - \hat{X})^T \right]

我们可以证明：

\text{DOP} = \sqrt{\text{Trace}\left( (H_t^T H_t)^{-1} \right)}

这个因子用于计算位置和时钟偏移估计误差的量级，因此可以衡量GPS解的可信度。如果只考虑位置误差（不考虑时钟偏移估计），则可以计算位置精度稀释因子 (PDOP, Position Dilution of Precision)：

PDOP = \sqrt{\tilde{H}_t(1,1) + \tilde{H}_t(2,2) + \tilde{H}_t(3,3)} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \ \text{où} \ \tilde{H}_t = (H_t^T H_t)^{-1}

根据位置所在的参考系，还可以计算垂直精度稀释因子 (VDOP, Vertical DOP) 和水平精度稀释因子 (HDOP, Horizontal DOP)。

4. 提供的数据描述

为了解决定位问题，GPS数据保存在文件 "donnees GPS TP.mat" 中。这些数据包括：

  • 每个时刻车辆轨迹点的GPS伪距离。数据每秒记录一次，记录N秒。所考虑的接收器具有8个追踪通道，因此最多可以同时处理8个测量。
  • 卫星相对于接收器的坐标，以WGS84坐标系表示。

此外，为了评估导航算法的性能，车辆的真实轨迹以本地坐标系表示，并保存在文件 "trajectoire TP.mat" 中。

数据格式

数据类型 变量名 维度
GPS伪距离 PRN 8 × T
卫星坐标 XYZsat 8 × 3 × T
车辆轨迹 Xloc 3 × T

当GPS数据不可用时，PRN和XYZsat表格包含NaN值。最后，提供了程序 llh2xyz.m，该程序用于根据椭球坐标（以弧度表示的纬度和经度、高度）计算点的笛卡尔坐标。

5. 问题

  1. 参阅附录，通过将参考系1到参考系2的变换分解为两次旋转，推导矩阵M的表达式(2)。

    [!IMPORTANT]

    需要从参考系 1 (ECEF) 到参考系 2 (NED) 的变换分解为两次旋转

    因此矩阵 M 包含两个旋转：

    绕 z 轴的旋转，角度为经度 \lambda ，将参考系从 ECEF 转换到中间参考系：
    M_1 = \begin{pmatrix} \cos \lambda & -\sin \lambda & 0 \\ \sin \lambda & \cos \lambda & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
    绕 y 轴的旋转，角度为纬度 \phi ，将中间参考系转换到 NED 参考系：
    M_2 = \begin{pmatrix} -\sin \phi & 0 & \cos \phi \\ 0 & 1 & 0 \\ -\cos \phi & 0 & -\sin \phi \end{pmatrix}

    通过将这两个矩阵相乘，可以得到从参考系 1 到参考系 2 的转换矩阵 M ：

    M = M_2 M_1 = \begin{pmatrix} -\sin \lambda \cos \phi & -\sin \phi & -\cos \lambda \cos \phi \\ -\sin \lambda \sin \phi & \cos \phi & -\cos \lambda \sin \phi \\ \cos \lambda & 0 & -\sin \lambda \end{pmatrix}

    详细解释: 这里有问题，不一定是正确答案

    我们的目的是从地球坐标系 (ECEF) 转换到本地坐标系 (NED)

     •	ECEF 坐标系的原点是地心

 •  NED 坐标系的原点是地面上的某一点，坐标系的三个轴分别指向北（N）、东（E）和地面法线向下（D，Down）

    为了完成这个转换，必须进行两次旋转：一次绕 z 轴的旋转，另一次绕 y 轴的旋转

    第一步:

    绕 z 轴旋转，这个旋转用于将地球坐标系 (ECEF) 的 x 轴和 y 轴对准我们定义的地面本地坐标系 (NED) 的相应方向。具体来说，绕 z 轴的旋转使得 NED 坐标系中的北方向（N）与经线的方向对齐，而东方向（E）与纬线的方向对齐。这个旋转的角度是经度 λ

    image-20240914102538535

    为什么绕 z 轴旋转？

	•	当我们选择一个地面上的参考点  P_0 ，我们希望它的局部坐标系能对应于地面的实际方向（北、东、下）。
	•	绕 z 轴旋转可以调整 x 和 y 轴，使得它们与参考点的经线和纬线方向一致。

    第二步:

    绕 y 轴旋转，用于调整 z 轴的方向，使它与地面的垂直方向（即“下”方向）对齐。这个旋转的角度是纬度 φ ，它决定了 z 轴的倾斜程度。

  2. 使用程序 llh2xyz 计算参考点P0（参考系2的原点）在参考系1中的坐标。对于所研究的轨迹，参考点的高度为零，纬度为北纬44°48'，经度为西经0°35'（注意：经度向东为正）。提示：1' = 1/60°。

    [!IMPORTANT]

    通过给定的纬度（44°48’ 北纬）、经度（0°35’ 西经）和零海拔高度，我们可以计算参考点 P_0 在 ECEF 参考系中的坐标，首先将纬度和经度转换为十进制度数：

    纬度: 44^\circ 48' \\ • 转换为十进制度数: 44 + \frac{48}{60} = 44.8^\circ \\ • 转换为弧度: \frac{44.8 \times \pi}{180} = 0.781907 \, \text{弧度}\\ 经度: 0^\circ 35' \\ • 转换为十进制度数: -(0 + \frac{35}{60}) = -0.5833^\circ （因为是西经）\\ • 转换为弧度: \frac{-0.5833 \times \pi}{180} = -0.010178 \, \text{弧度} \\
    现在我们有 \phi = 0.781907 \, \text{弧度} ， \lambda = -0.010178 \, \text{弧度} ，和 h = 0 \, \text{米} 。
    function xyz = llh2xyz(llh)

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Ce programme transforme un triplet de coordonnées ellipsoidales
% (latitude, longitude, altitude) en coordonnées cartésiennes dans le
% repère WGS84.
% Entrée :
%  llh = (latit, longi, alti), triplet de coordonnées ellipsoidales
% Sortie :
% xyz : triplet de coordonnées cartésiennes
%
%将经纬度和海拔高度的椭球坐标转换为 ECEF（地心地固）坐标系中的笛卡尔坐标
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

phi = llh(1); % latitude
lambda = llh(2);
h = llh(3);

a = 6378137.0000;
b = 6356732.0000;
e=sqrt(1-(b/a)^2);

sinphi = sin(phi);
cosphi = cos(phi);
coslam = cos(lambda);
sinlam = sin(lambda);
tan2phi = (tan(phi))^2;
tmp=1-e^2;
tmpden = sqrt(1+tmp*tan2phi);

x = (a*coslam)/tmpden+h*coslam*cosphi;
y = (a*sinlam)/tmpden+h*sinlam*cosphi;

tmp2 = sqrt(1-(e*sinphi)^2);
z = (a*tmp*sinphi)/tmp2+h*sinphi;

xyz(1) = x;
xyz(2) = y;
xyz(3) = z;

    输入：
	•	llh(1) 为纬度  \phi  （以弧度表示）
	•	llh(2) 为经度  \lambda  （以弧度表示）
	•	llh(3) 为海拔高度  h  （以米为单位）
椭球参数：
	•	 a  是 WGS84 椭球的长半轴（赤道半径），等于 6378137.0000 米。
	•	 b  是 WGS84 椭球的短半轴（极半径），等于 6356732.0000 米。
	•	 e  是椭球的第一偏心率。
输出：
	•	xyz(1)、xyz(2) 和 xyz(3) 分别是转换后的 ECEF 坐标系中的 x、y、z 坐标。

    % 定义经纬度和高度
latitude_deg = 44 + 48/60; % 纬度 44°48' 北
longitude_deg = -(0 + 35/60); % 经度 0°35' 西 (转换为负值)
altitude = 0; % 海拔高度，假设为 0 米

% 将经纬度从度转换为弧度
latitude_rad = deg2rad(latitude_deg); % 纬度转换为弧度
longitude_rad = deg2rad(longitude_deg); % 经度转换为弧度

% 创建包含纬度、经度和高度的向量
llh = [latitude_rad, longitude_rad, altitude];

% 调用 llh2xyz 函数计算 ECEF 坐标
xyz = llh2xyz(llh);

% 输出结果
disp('ECEF 坐标:');
disp(['X: ', num2str(xyz(1)), ' m']);
disp(['Y: ', num2str(xyz(2)), ' m']);
disp(['Z: ', num2str(xyz(3)), ' m']);

    得到结果ECEF 坐标:
X: 4533051.7704 m
Y: -46152.9905 m
Z: 4471583.3721 m

  3. 通过应用最小二乘法算法，使用提供的GPS数据找出车辆在塔朗斯市的轨迹（在参考系1和参考系2中）

    [!IMPORTANT]

    回顾之前在此TP中应用最小二乘法的线性化步骤

    GPS 伪距方程为： Y(t) = h_t(x, y, z, b) + w(t)\\ 其中 h_t(x, y, z, b) 是一个依赖卫星位置的非线性函数， w(t) 是噪声。
    为了应用最小二乘法，我们对方程进行一阶泰勒展开线性化：\\ Y(t) - h_t(x_r, y_r, z_r, b_r) = H_t (X - X_r) + w(t)\\ H_t 是伪距函数 h_t 对状态向量分量 (x, y, z, b) 的偏导数。\\
    通过最小二乘法，状态向量 X 的估计值为: \hat{X} = (H_t^T H_t)^{-1} H_t^T Z

    此估计值就是我们得到的车辆的运动轨迹，用估计值去更新状态向量，再用新的状态向量来计算得到伪距误差，不断迭代，直至估计值收敛。即在每个时刻 t 进行迭代，不断更新估计位置，将每个时刻得到的位置依次排列，就可以得到车辆的完整轨迹。

    %% Question 3 
load('donnees_GPS_TP.mat');  % 加载GPS卫星数据文件 "donnees_GPS_TP.mat"

T = size(PRN, 2);  % 获取观测时间点的数量（PRN的列数）;也就是我们对其进行了954次时间采样
Xest = zeros(4, T);  % 初始化车辆位置的估计结果矩阵，大小为4行954列，每一行都有954个随时间变化得到的数据。用于储存
Xloc_est = zeros(3, T);  % 初始化局部NED坐标系下的估计位置矩阵，大小为3行T列。也就是评估的车辆位置

b = 0;  % 定义初始偏差b为0
M = [-sla*clon, -slon, -cla*clon;  % 构建旋转矩阵M，用于从ECEF转换到局部NED坐标系
     -slon*sla, clon, -cla*slon; 
     cla, 0, -sla];

for t = 1:T  % 遍历每个时间点
    ind = find(~isnan(PRN(:, t)));  % 找到在当前时间t可用的卫星索引，即非NaN值的行。可以是很多行
    Y = PRN(ind, t);  % 利用当前时间和当前可用的索引值获取对应时间t的卫星观测值
    nb_mes = length(ind);  % 获取该时刻可用的观测值数量。也就是当前时间非NaN值的行有几个。

    % Initialiser les vecteurs h et H
    h = zeros(nb_mes, 1);  % 初始化观测值的预测向量h。有几个可用值，就相当于有几个可用卫星。
    H = zeros(nb_mes, 4);  % 初始化测量矩阵H，用于后续线性化，有四列的原因是需要分别算x,y,z,b的梯度

    % Construction de z
    for i = 1:nb_mes  % 遍历所有可用的卫星测量
        % Calcul de la mesure prédite h(i)
        % 计算预测的观测值h(i)，根据P0和卫星位置计算欧氏距离并加上偏差b
        h(i) = sqrt((xyz_P0(1, 1) - XYZsat(ind(i), 1, t))^2 + ...
                    (xyz_P0(1, 2) - XYZsat(ind(i), 2, t))^2 + ...
                    (xyz_P0(1, 3) - XYZsat(ind(i), 3, t))^2) + b;

        % Calcul du gradient de h par rapport à Xest
        % 计算预测值的梯度，更新测量矩阵H的前三列（位置部分） 这里比较复杂
        H(i, 1:3) = (xyz_P0(1:3) - XYZsat(ind(i), :, t)) / h(i); 
        H(i, 4) = 1;  % 更新测量矩阵H的最后一列（偏差部分）
    end

    DOP(t) = sqrt(trace(inv(H' * H)));  % 计算精度稀释因子DOP

    % Construction de z
    % 构造观测残差z，将观测值与预测值和初始估计值差计算出来
    z = Y - h + H * [xyz_P0'; 0];

    % Application de la méthode des moindres carrés
    % 使用最小二乘法估计位置和偏差，结果存储在Xest中
    Xest(:, t) = pinv(H) * z;
    
    % 将估计的ECEF坐标转换为局部NED坐标
    Xloc_est(:, t) = inv(M) * (Xest(1:3, t) - xyz_P0');
end

% 绘制3D估计轨迹
figure, plot3(Xest(1, :), Xest(2, :), Xest(3, :));
title('Graphique 3D de la trajectoire estimée du véhicule dans le repère 1 (ECEF)')

% 绘制局部NED坐标系下的真实轨迹和估计轨迹
figure
plot(Xloc(1, :), Xloc(2, :), 'r'), hold on  % 绘制真实轨迹
plot(Xloc_est(1, :), Xloc_est(2, :), 'b')  % 绘制估计轨迹
title('Trajectoire réelle et de la trajectoire estimée du véhicule dans le repère 2 (local NED)')
legend('Trajectoire réelle', 'Trajectoire estimée')  % 添加图例

% 绘制DOP随时间的变化
figure
plot(DOP)
title('Graphique de la Dilution of Precision (DOP) en fonction du temps')
xlabel('Temps')
ylabel('Dilution of Precision (DOP)')

  4. 修改提供的GPS数据以模拟干扰（增加测量噪声的方差）和多路径效应（在一个或多个GPS测量中引入偏差）。研究算法对这些扰动的鲁棒性，特别是可以研究均方误差随误差幅度的变化。

    [!IMPORTANT]

    均方误差:\ \ \ \text{MSE} = \frac{1}{N} \sum_{t=1}^N \|\hat{X}(t) - X(t)\|^2 \\ 其中 X(t) 为真实位置， \hat{X}(t) 为估计位置

    其他部分不会

  5. 从公式(7)和(8)推导公式(7)和(9)的关系。

    [!IMPORTANT]

    推导公式 (7):\\ 从最小二乘法的解开始:\\ \hat{X} = (H_t^T H_t)^{-1} H_t^T Z(t)\\ 将 Z(t) = H_t X + w(t) 代入，得到:\\ \hat{X} = (H_t^T H_t)^{-1} H_t^T (H_t X + w(t))\\ 简化后为:\\ \hat{X} = X + (H_t^T H_t)^{-1} H_t^T w(t)\\ 因此，估计值的误差为:\\ \hat{X} - X = (H_t^T H_t)^{-1} H_t^T w(t)
    推导公式 (9):\\均方根误差 \text{RMSE} 用来衡量估计值 \hat{X} 和真实值 X 之间的误差\\

    方法一。我个人认为不好，不恰当

    \text{RMSE} = \sqrt{\mathbb{E} \left[ \|X - \hat{X}\|^2 \right]}=\sqrt{\mathbb{E} \left[ \|(H_t^T H_t)^{-1} H_t^T w(t)\|^2 \right]}
    ||Av||^2 = v^T A^T Av
    \left\| (H_t^T H_t)^{-1} H_t^T w(t) \right\|^2 = w(t)^T H_t (H_t^T H_t)^{-1} (H_t^T H_t)^{-1} H_t^T w(t)\\ RMSE^2 = E \left[ w(t)^T H_t (H_t^T H_t)^{-1} (H_t^T H_t)^{-1} H_t^T w(t) \right]\\ 注意:\ \ \  (H_t^T H_t)^{-1} 是一个对称矩阵。对于对称矩阵 A ，我们有 A^T = A
    因为w(t) 是零均值、方差为σ2的高斯白噪声\\ RMSE^2 = \sigma^2 \text{Trace}\left( H_t (H_t^T H_t)^{-1} (H_t^T H_t)^{-1} H_t^T \right)=\sigma^2 Trace((H_t^{-T}H_t^{-1}))=\sigma^2 Trace((H_tH_t^{T})^{-1})=\sigma^2 Trace((H_t^{T}H_t)^{-1})
    因为:\ \ RMSE = DOP × σ\\ 所以:\ \ DOP = \sqrt{\text{Trace}((H_t^T H_t)^{-1})}

    方法二。

    误差向量的协方差矩阵 \Sigma_{\Delta X \Delta X} 可以用来表示估计误差的统计特性\\因此，均方根误差也可以通过协方差矩阵来表达:\\ \text{RMSE} = \sqrt{\text{Trace}(\Sigma_{\Delta X \Delta X})}\\ \text{Trace}(\Sigma_{\Delta X \Delta X}) 是协方差矩阵的迹，即矩阵对角线元素的和，它表示所有误差分量的方差之和。
    \mathbb{E} \left[ \|X - \hat{X}\|^2 \right] = \text{Trace}(\Sigma_{\Delta X \Delta X})\ \ \ \ \ \ \ \ \text{avec} \ \Sigma_{\Delta X \Delta X} = \mathbb{E} \left[ (X - \hat{X})(X - \hat{X})^T \right]
    \Sigma_{\Delta X \Delta X} = E\left[ \left( (H_t^T H_t)^{-1} H_t^T w(t) \right) \left( (H_t^T H_t)^{-1} H_t^T w(t) \right)^T \right]
    由于 w(t) 是零均值的高斯白噪声，且 E[w(t)w(t)^T] = \sigma^2 I ，我们可以得到:\\ \Sigma_{\Delta X \Delta X} = (H_t^T H_t)^{-1} H_t^T E[w(t)w(t)^T] H_t (H_t^T H_t)^{-1}=\sigma^2(H_t^T H_t)^{-1} H_t^T H_t (H_t^T H_t)^{-1}\\ \Sigma_{\Delta X \Delta X} = \sigma^2H_t^{-1}H_t^T= \sigma^2 (H_t^T H_t)^{-1}
    \text{RMSE} = \sqrt{\text{Trace}(\Sigma_{\Delta X \Delta X})}\\ and \ \ \ \ \ RMSE = DOP \times \sigma \\ donc\ \ \ DOP = \sqrt{\text{Trace}((H_t^T H_t)^{-1})}

  6. 计算车辆轨迹上的DOP因子，并验证其与位置估计结果的合理性。还可以计算PDOP、VDOP和HDOP。对于后两个术语的计算，需要在本地参考系中进行分析。

    [!IMPORTANT]

    	•	PDOP（位置精度衰减因子）：仅考虑三维位置的影响。

	•	HDOP（水平精度衰减因子）：仅考虑水平方向位置的影响（即北方和东方的误差）。

  •	VDOP（垂直精度衰减因子）：仅考虑垂直方向的影响。
    HDOP = \sqrt{\tilde{H_t}(1,1) + \tilde{H_t}(2,2)} \\ VDOP = \sqrt{\tilde{H_t}(3,3)}

附录

考虑从参考系R'（定义为轴 (x', y', z') ）到参考系R（ 定义为轴 (x, y, z) ）的变换矩阵M，满足：

X = M X'

其中X'和X分别是点在参考系R'和R中的坐标向量。矩阵M的列是参考系R'中单位向量在参考系R中的坐标。因此，如果两个参考系之间的变换是绕z轴旋转θ角，如下图所示，则M满足：

M = \begin{pmatrix} \cos θ & -\sin θ & 0 \\ \sin θ & \cos θ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

类似的推理也适用于绕x轴或y轴的旋转。

![image-20240911181138219](/Users/zehua/Library/Application Support/typora-user-images/image-20240911181138219.png)

导航与 GPS：课程笔记
GPS 导航实验报告：伪距定位与算法实现

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