环形二元相位掩模与景深扩展实验
实验背景
研究的是光学成像系统中的景深扩展，在传统的光学系统中，只有位于焦平面附近的物体才能被清晰成像，离焦平面稍远的物体就会变得模糊。这个清晰成像的距离范围就是我们所说的景深。
解决景深问题的一个巧妙方法是在光学系统的瞳孔位置放置一个特殊设计的相位掩模，这个掩模不改变光的强度，但会改变光的相位（所以是"相位"掩模）。通过设计后，我们可以让系统在不同离焦状态下的点扩散函数（PSF）变得更加相似。这样，即使物体离焦了，成像的模糊方式也比较一致，后续就可以用去卷积来恢复清晰图像。
本实验中使用的是环形二元相位掩模。二元是指相位只取两个值：要么是0，要么是 \pi（相当于光程差 \lambda/2，其中 \lambda 是光的波长）。环形掩模由一系列同心圆环组成，相邻的环引入相反的相位。当光波通过掩模时，不同环上的光会获得0或 \pi 的相位差。这相当于让某些环上的光 波峰变波谷。当这些带着不同相位的光波在像平面上汇聚时，它们会发生干涉。通过合理设计环的半径，我们可以让这种干涉效果在不同离焦距离下保持相对稳定，从而实现景深扩展。
问题Q1：无掩模情况下的离焦效应
我们先研究没有相位掩模时，离焦对成像的影响。这是一个基准（baseline），后面有掩模的结果都要和这个基准进行比较。
我们要可视化三个对象：像瞳中的复振幅、点扩散函数（PSF）和光学传递函数（OTF），并在三个不同的离焦量下观察这些量：\psi = 0（无离焦，即焦平面）、\psi = 0.5\lambda（中等离焦）和 \psi = 1\lambda（较大离焦）。
点扩散函数（PSF）描述了点光源经过光学系统后在像平面上形成的光强分布。从光瞳函数可以通过傅里叶变换的模平方得到PSF：
这里 \tilde{P} 表示 P 的傅里叶变换，\lambda 是波长，f 是焦距。这个公式说明PSF实际上是光瞳函数的傅里叶变换强度。
光学传递函数（OTF）则通过光瞳函数的自相关得到：
这里 \nu 是空间频率变量，P^* 表示复共轭。OTF在频率域描述了系统传递不同空间频率成分的能力。对于卷积成像模型 y = h * x，在频率域表示为：
我们使用提供的函数 Calcule_OTF 来计算这些量，当我们把参数 param_masque 设为0时，表示没有相位掩模，只有离焦效应。
实验结果
像瞳相位分布分析
在对焦状态（\psi = 0）下，像瞳相位呈现均匀分布，说明没有离焦，系统完全对焦。随着离焦量增加到 \psi = 0.5\lambda，相位分布呈现圆环结构（二次相位项的表现）。当离焦量进一步增大到 \psi = 1.0\lambda 时，环形条纹密度显著增加，相位变化更剧烈，表明相位畸变更加严重。
点扩散函数退化特性
PSF的变化展示了离焦对点成像能力的影响。在对焦状态（\psi = 0）下，PSF呈现为理想的艾里斑，能量高度集中，半高全宽（FWHM）极小。当引入 \psi = 0.5\lambda 的离焦后，PSF显著展宽，不再是紧凑的艾里斑，能量开始扩散。在 \psi = 1.0\lambda 的大离焦条件下，PSF退化为具有明显环状结构的扩展光斑。
频域传递特性分析
随着离焦量 \psi 的增加，光学系统的 OTF 幅值逐渐减弱且范围缩小，从频域角度看，这相当于对图像进行低通滤波，高频成分（细节）被大幅衰减，只有低频成分（大尺度结构）能够通过
问题Q2：引入两环相位掩模
现在我们在像瞳处加入一个相位掩模。这个掩模只有两个环，分界半径是 r_1 = 0.5。具体来说，从中心到半径0.5的区域引入相位0，从半径0.5到边缘引入相位 \pi。并在 \psi = 0, 0.5\lambda, 1\lambda 三个离焦值下观察PSF和OTF。
引入相位掩模后的光瞳函数变为：
其中 \varphi(x) 是相位掩模引入的相位调制函数
实验结果
像瞳相位分布
相位掩模改变了光的干涉方式，在 r = 0.5 处引入的 \pi 相位跳变，使得内外环的光波发生相消干涉，从而调制了PSF的形状，最终表现为离焦环形结构叠加上掩模的边界
点扩散函数（PSF）
在无掩模情况下，离焦会导致点扩散函数的能量迅速向外扩散，中心亮斑变得宽而弱，而在引入相位掩模后，PSF的整体结构在不同离焦量下的变化明显减小，随着离焦量增大到 \psi = 0.5\lambda 和 \psi = 1.0\lambda，PSF的形状基本相似，这表明系统的模糊特性在不同离焦状态下高度一致，从而可以使用同一个去卷积滤波器来进行图像恢复。
光学传递函数（OTF）
在对焦状态（\psi = 0）下，无掩模系统的OTF幅值最高，而加入掩模后，在最佳对焦时的分辨率质量比无掩模的差，随着离焦量的增加，无掩模系统的OTF迅速下降，尤其是高频部分几乎丧失
问题Q3：实际图像的卷积模拟
我们模拟测试图像在三个不同离焦状态（\psi = 0, 0.5\lambda, 1\lambda）下的成像，分别对比有掩模（r_1 = 0.5）和无掩模（r_1 = 0）两种情况。
实验结果
无掩模系统成像特性
在无掩模情况下，焦平面（\psi = 0）获得最清晰的图像，这对应了Q1中的尖锐艾里斑PSF和理想的OTF响应。随着离焦量增加到 \psi = 0.5\lambda 和 \psi = 1.0\lambda，导致了PSF显著展宽，OTF在高频区域迅速衰减，导致图像模糊图像迅速模糊，细节严重丢失。
有掩模系统成像特性
在焦平面（\psi = 0）的图像质量略低于无掩模系统，图像整体有轻微的模糊感，因为相位掩模使得PSF的形状不再是理想的艾里斑。但在整个离焦范围内图像质量保持相似
因此我们可以说相位掩模成功实现了景深扩展的目标，通过在焦内牺牲少量成像质量，换取了在较宽离焦范围内更加一致的成像性能。这使得系统能够在不同物距下保持稳定的成像质量，使得我们能够用统一的反卷积滤波器处理不同离焦图像
问题Q4：噪声条件下的维纳滤波去卷积
我们的之前的实验都没有考虑噪声，因此 ici 我们生成一幅模糊且带噪声的图像。具体参数是：掩模半径 r_1 = 0.5，离焦量 \psi = 0.5\lambda，信噪比 \text{SNR} = 40\text{ dB}。我们比较加噪声前后的图像，观察噪声的影响，然后用维纳滤波器进行去卷积，最后我们用重建质量（RQ）来评估恢复的图像与原始清晰图像的接近程度。
实验结果
噪声影响分析
在添加40 dB噪声（较高信噪比）后，图像的均方误差（MSE）从0增加到0.12，表现为图像中出现随机颗粒状噪点，细节信息被噪声掩盖。
维纳滤波去卷积效果
使用维纳滤波器进行去卷积处理后，获得了21.73 dB的重建质量（RQ）。去卷积后的均方误差为12.70，表明维纳滤波器成功恢复了部分图像细节。
实验结果表明，在相位掩模改善了离焦性能，我们需要进行去卷积方法来重新获得高分辨率的图像。同时，噪声的存在使得维纳滤波这种正则化方法必不可少，避免简单地用逆滤波带来的噪音爆炸。
问题Q5：平均维纳滤波器与景深扩展的实现
前面的维纳滤波器是针对特定离焦量 \psi = 0.5\lambda 设计的。如果离焦量改变了，这个滤波器的效果就会变差。我们之前构建的相位掩膜使得不同离焦状态下的OTF比较相似，因此我们就可以用一个平均滤波器来处理所有离焦状态的图像。
平均维纳滤波器的形式为：
这个滤波器在所有 \psi_k 上进行平均，分子对所有PSF的复共轭加权求和，分母则综合考虑所有PSF的能量和噪声功率。
我们考虑多个离焦状态（\psi = 0, 0.5\lambda, 1\lambda），计算这些状态下的OTF，然后基于这些OTF的平均来设计一个滤波器。
平均维纳滤波器的思想是：我们考虑多个离焦状态（这里是 \psi = 0, 0.5\lambda, 1\lambda），并在掩模 r_1 = 0.5 下计算获得的OTF，然后基于这些OTF的平均来设计一个滤波器。然后使用此平均维纳滤波器对这三幅图像（加入40 dB噪声）进行去卷积，并在无掩模的情况下（r_1 = 0）重复实验以作为对照
实验结果
重建质量对比
| 系统类型 | \psi = 0 | \psi = 0.5\lambda | \psi = 1.0\lambda | 平均RQ | 标准差 |
|---|---|---|---|---|---|
| 有掩模 (r_1 = 0.5) | 10.5 dB | 19.0 dB | 11.7 dB | 13.7 dB | 4.59 dB |
| 无掩模 (r_1 = 0) | 18.5 dB | 14.1 dB | 7.6 dB | 13.4 dB | 5.51 dB |
相位掩模系统展现出更好的结果：虽然两系统的平均RQ相近（13.7 dB vs 13.4 dB），但有掩模系统的性能更加稳定（标准差4.59 dB vs 5.51 dB）。特别是在大离焦（\psi = 1.0\lambda）条件下，有掩模系统的RQ为11.7 dB，显著高于无掩模系统的7.6 dB。
这证明了相位掩模成功实现了景深扩展，通过使不同离焦状态下的PSF相似化，使得一个平均维纳滤波器能够在整个离焦范围内实现稳定的图像恢复，避免了无掩模系统在离焦时性能急剧下降的问题。
问题Q6：掩模参数的优化
前面我们用的掩模半径 r_1 = 0.5 是固定选择的。现在我们要找到最优的半径值。最优意味着我们要在考虑的离焦范围（\psi = 0, 0.5\lambda, 1\lambda）内，最差情况下的性能最好，即极小极大（minimax）准则。
我们要最大化三个RQ值中的最小值：
具体实现方法为，对 r_1 在范围内扫描，对每个 r_1 值，计算三个离焦状态下的RQ，取其中最小的那个，然后画出这个最小RQ值随 r_1 变化的曲线。曲线的最高点对应的 r_1 就是最优值。
找到最优 r_1 后，我们用这个最优掩模重新进行去卷积实验，看看性能是否有提升。
实验结果
通过扫描 r_1 从0到1的范围，找到最优掩模半径 r_1^* = 0.820，对应的最小RQ值为 14.72 dB。
| 掩模配置 | \psi = 0 | \psi = 0.5\lambda | \psi = 1.0\lambda | 平均RQ | 标准差 | 最小RQ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 最优掩模 (r_1^* = 0.820) | 14.71 dB | 17.81 dB | 15.66 dB | 16.06 dB | 1.59 dB | 14.71 dB |
| 固定掩模 (r_1 = 0.5) | 10.52 dB | 18.98 dB | 11.66 dB | 13.72 dB | 4.59 dB | 10.52 dB |
图片上方是优化后的掩模半径 r_1^* = 0.820 的结果，下方是Q5中固定掩模 (r_1 = 0.5) 的结果，经过对比发现
优化后的掩模半径的结果有很好的提升，最差情况下他的RQ提升到14.71 dB。同时，性能标准差降低到1.59 dB，表明优化后的系统在不同离焦状态下的成像质量基本均匀一致，在整个景深范围内都有均匀的好性能
问题Q7：三环相位掩模优化
两环掩模只有一个自由参数 r_1。如果我们用三环掩模（由两个半径 r_1 和 r_2 定义，r_1 < r_2），就有两个自由参数，理论上应该能获得更好的性能。
三环掩模的相位分布是：中心到 r_1 为相位0，r_1 到 r_2 为相位 \pi，r_2 到边缘又回到相位0。
因此优化问题变成了二维的：
在实现上，我们需要在二维参数空间 (r_1, r_2) 上搜索（约束条件 0 < r_1 < r_2 < 1）。找到最优参数后，同样进行去卷积实验并计算RQ，并与两环掩模的结果比较。
实验结果
通过二维参数空间搜索，找到最优参数：r_1^* = 0.100，r_2^* = 0.900
| 掩模类型 | 参数 | 平均RQ | 最小RQ | 标准差 |
|---|---|---|---|---|
| 两环掩模（Q6最优） | r_1^* = 0.820 | 16.06 dB | 14.71 dB | 1.59 dB |
| 三环掩模（Q7最优） | r_1^* = 0.100, r_2^* = 0.900 | 28.81 dB | 28.09 dB | 0.64 dB |
三环相位掩模展现出很好的性能提升。最优参数配置（r_1^* = 0.100，r_2^* = 0.900）实现了很好的重建质量，并且标准差仅为0.64 dB，表明在整个离焦范围内成像质量几乎保持恒定。
因此我们可以得出结论，增加设计自由度能够在离焦不变性和图像质量之间找到更优的平衡。因为两环掩模受限于单一参数，只能在有限的设计空间内优化，而三环掩模通过两个参数 (r_1, r_2) 的协同作用，能够更精细地调制相位分布 \varphi(x)，使得系统的OTF在整个离焦范围内既保持相似，又维持较高的幅值水平，从而在去卷积时既能有效恢复图像，又能抑制噪声放大