学生姓名：[姓名]
日期：2026年1月7日
实验概述
理论基础
实验1：笛卡尔k空间欠采样与零填充FFT图像重建
实验目的
研究不同k空间采样掩模（低频/高频、线状/方形）对MRI图像重建质量的影响，并分析参数 factor_ctr 和 signoise 的作用。
任务1：改变 factor_ctr 参数
factor_ctr 参数控制k空间中低频和高频之间的分离程度。值越大，采样的低频（或高频）区域越小。
参数 factor_ctr 控制低频与高频之间的分界位置，MRI信号在k空间中分布规律如下：低频成分集中在k空间中心，携带图像的整体对比度和大尺度结构信息；高频成分分布在k空间边缘，携带图像的边缘、纹理等精细细节信息。
factor_ctr = 2（更多采样）
1. 低频线状掩模（Low frequency line mask）
采样掩模呈水平带状，仅保留k空间中垂直方向（k_y方向）的中心区域，这种线状掩模在 k_x 方向完整采样，而在 k_y 方向只采集低频部分。
从k空间含噪数据图可以观察到，信号能量主要集中在水平带状区域内，带外区域呈现为黑色（零值）。零阶重建结果显示，图像保留了脑部的整体轮廓、灰白质的大致对比度分布，但图像整体模糊，特别是沿垂直方向表现出分辨率下降，正是由于k_y 方向的高频信息缺失导致的空间分辨率受限
2. 低频方形掩模（Low frequency box mask）
采样掩模呈正方形，位于k空间中心，在 k_x 和 k_y 两个方向上均只保留低频成分。零阶重建结果与线状低频掩模相比，图像呈现出各向同性的模糊效果，因为两个方向的高频信息均被截断，水平和垂直方向上的图像分辨率都下降了
3. 高频线状掩模（High frequency line mask）
采样掩模保留k空间中 k_y 方向的高频区域，零阶重建结果很差，这是因为图像的整体亮度和对比度信息存储在k空间中心的低频成分中，而这部分被去除了，只留下了边缘纹理
4. 高频方形掩模（High frequency box mask）
采样掩模将k空间中心的正方形区域置零，仅保留两个方向的高频信息，零阶重建结果同样只能体现大致轮廓，低频部分所携带的图像的细节和对比度信息丢失
1.2.2 factor_ctr = 8（较少采样）
当 factor_ctr 从2增大到8时，低频采样区域的范围按比例缩小，这意味着k空间中被采集的低频成分减少。
1. 低频线状掩模
采样掩模的白色带状区域明显变窄，零阶重建结果图像的模糊程度加剧，且出现条纹现象，这是由于 k_y 方向采样带宽过窄导致的Gibbs振铃效应（Gibbs ringing）
2. 低频方形掩模
方形采样区域更窄，图像更加模糊
3. 高频线状掩模
与 factor_ctr = 2 相比，被排除的中心区域变窄，意味着保留了更多的频率成分，重建图像相比之前轮廓信息更多，但是由于低频信息的缺失，因此仍然模糊
4. 高频方形掩模
同理，有更多的高频信息，图像轮廓更加明显，但是低频细节信息缺失
1.2.3 factor_ctr = 16（极少采样）
1. 低频线状掩模
2. 低频方形掩模
3. 高频线状掩模
4. 高频方形掩模
factor_ctr 参数分析
综合 factor_ctr = 2, 8, 16 三组实验，可以得出以下结论：
对于低频掩模，factor_ctr 越大，低频采样区域越小，重建图像越模糊，对于高频掩模，factor_ctr 越大，保留的高频成分越多，重建图像边缘轮廓越清晰，但是细节仍然丢失
线状掩模与方形掩模的差异在于各向同性：线状掩模只在一个方向进行频率选择，方形掩模在两个方向同时进行频率选择
任务2：改变 signoise 参数
参数 signoise 控制k空间数据中的噪声水平。
1.3.1 signoise = 1（低噪声）
signoise = 1 表示低噪声条件，信噪比（SNR）较高。
1. 低频线状掩模
2. 低频方形掩模
3. 高频线状掩模
4. 高频方形掩模
综上四个结果，可见当噪声水平很低时，噪声对图像重建结果影响不明显，但是高频区域对噪声更敏感，这是因为MRI信号的能量分布是非均匀的，即低频区域信号强度远高于高频区域，那么当噪声增加时，高频区域的信噪比下降更快，因此边缘轮廓受噪声影响较大
1.3.2 signoise = 50（中等噪声）
1. 低频线状掩模
2. 低频方形掩模
3. 高频线状掩模
4. 高频方形掩模
当噪声参数从 signoise = 1 增大到 signoise = 50 时，重建图像开始有噪声颗粒，但图像质量依旧很好，总而言之，噪声增加会降低图像质量，但由于低频信号能量集中，低频采样对噪声有较强的抗干扰能力。高频采样对噪声敏感，在高噪声条件下边缘信息容易被淹没。
实验2：逐点笛卡尔可变密度采样（VDS）与零填充FFT重建
研究可变密度采样中 threshold 和 decay 参数对采样掩模和图像重建质量的影响。
任务1：改变 threshold 参数
threshold 参数控制采样掩模的密度阈值，决定了哪些k空间位置会被纳入采样范围
threshold = 1.0 × opt_density.min()
左图显示的是Shannon小波基下的最优可变密度分布，中心最亮（采样概率最高），沿水平和垂直方向有延伸的高概率区域。采样掩模显示仅有极少量的采样点
k空间含噪数据图显示信号主要集中在中心区域，但由于采样点稀疏，数据分布不连续，零阶重建结果显示，图像质量很好，结构和细节都很清楚，这是因为关键的采样点很好的覆盖了k空间的关键区域
2.3.2 threshold = 20.0 × opt_density.min()
当阈值升高时，只有采样概率足够高的区域才会被保留，k空间含噪数据仅在中心区域内有信号，其余区域为零。零阶重建结果出现了严重的伪影，且严重失真
综上所述，threshold 参数本质上控制了采样区域的大小和形状。低阈值允许更大范围的k空间被采样，采样点分布更广泛，有助于捕获高频信息。高阈值将采样限制在高概率区域（即k空间中心），虽然中心区域采样更密集，但外围高频信息完全丢失，导致分辨率下降
2.4 任务2：改变 decay 参数
decay 参数控制从k空间中心向外的采样密度衰减速度。
2.4.1 decay = 3
零阶重建结果显示脑部结构可见，但边缘处存在明显的Gibbs伪影，且由于高频采样不足导致图像边缘模糊
2.4.2 decay = 5
当衰减率增加到5时，k空间含噪数据图中可见信号仅集中在中心一个很小的亮点内，重建结果非常模糊，甚至无法看清轮廓
综上所述，decay 参数直接控制了采样密度的空间分布范围。小的 decay 值产生缓慢衰减的密度函数，允许高频区域也有较高的采样概率，保证空间分辨率。
实验3（附加）：各种密度的独立同分布采样与轨迹采样
展示不同采样密度设计方法和轨迹生成策略，包括Cutoff/Decay密度、Energy密度、Chauffert密度以及各种采样轨迹。
Cutoff/Decay密度分析
基础Cutoff/Decay密度
基础的可变密度函数采用中心高密度、向外衰减的设计。中心红色区域表示均匀高密度采样区，由 cutoff = 0.2 定义其范围。从红色区域边缘开始，密度按照多项式规律向外衰减（由 decay = 2 控制）
这样设计的原因在于，k空间中心的低频成分最为重要，需要100%采样，随着频率增加，信号能量下降，可以降低采样概率以节省采集时间，同时利用压缩感知的稀疏性保证重建质量。
3.2.2 cutoff 参数影响
cutoff 参数控制中心均匀采样区域的大小，值越大区域越大，可确保低频信息的完整采集
3.2.3 decay 参数影响
decay 控制从中心向外的衰减速度，值越大衰减越快，采样越集中于低频区域。
3.3 Resolution参数影响
resolution 控制密度的各向异性，可生成椭圆形采样区域以适应不同分辨率需求。
3.4 Energy-based密度（基于能量的密度）
图中显示了不同层面（slice 50, 100, 150）的学习密度分布，能量分布反映k空间能量沿坐标轴集中
Chauffert密度
基础Chauffert密度
Chauffert密度是基于压缩感知理论严格推导的最优采样密度，其设计目标是保证稀疏小波域图像恢复的理论最优性，它直接考虑了稀疏化变换（小波变换）的频率响应特性
3.5.2 wavelet_basis 参数影响
图中展示了四种不同小波基对应的Chauffert最优密度分布：
Haar小波 是最简单的小波，其滤波器长度最短（只有2个系数），频率响应沿坐标轴方向集中。
rbio2.2（反向双正交2.2小波） 中心高密度区域略大，因为其滤波器长度更长，频率响应更平滑
**coif4（Coiflet 4小波）**产生多尺度网格状的密度分布。这种结构反映了Coiflet小波的多尺度分解特性，即不同尺度的子带在k空间中占据不同的频率范围，形成了层次化的网格结构。
**sym8（Symlet 8小波）**同样产生多尺度网格结构，但其具有对称性
3.5.3 nb_wavelet_scales 参数影响
nb_wavelet_scales 参数控制小波分解的尺度数，当尺度数为1时，只进行一层小波分解，密度图呈现分散的多点网格结构，当尺度数为2时，密度开始向中心集中，当尺度数为4时，密度高度集中于k空间中心（低频区域）。即更多的分解尺度导致采样密度更加集中于低频
3.6 Custom密度（自定义密度）
采样方法对比
Random Sampling（随机采样）
随机采样是最直接的采样策略：对于每个k空间位置 (k_x, k_y)，按照密度函数 \pi(k_x, k_y) 给出的概率独立地进行伯努利采样。图中四个散点图展示了不同密度函数（Cutoff/Decay、Energy、Chauffert、Custom）对应的随机采样结果。
优点是简单，快速，缺点是点分布不够均匀，存在明显的聚集现象
Lloyd's Sampling（Lloyd采样）
Lloyd采样基于K-Means算法，通过迭代优化使采样点分布更加均匀。与随机采样相比，点分布明显更加均匀。
Lloyd采样的优势在于更好的k空间覆盖性。均匀分布的采样点能够更有效地捕获各个频率的信息，避免信息缺失，缺点是计算量大
轨迹生成方法
Random Walks（随机游走）- 随机起点
随机游走是一种生成连续轨迹的策略。算法从某个起点开始，每一步随机选择移动方向，步长可以固定或按某种分布变化。轨迹的移动概率受密度函数约束，使得轨迹更倾向于停留在高密度区域。
可以观察到：
- 轨迹呈现随机游走的特征，路径不规则但连续
- 多数轨迹集中在k空间中心的高密度区域（黑色密集部分）
- 轨迹向外延伸时变得稀疏
- 不同shot的轨迹有重叠，中心区域重叠度高
随机起点的随机游走存在一个问题：由于起点随机分布，某些区域可能被多条轨迹重复覆盖，而某些区域完全没有轨迹经过。这种不均匀性会影响重建质量。
Random Walks + Lloyd起点
为改善随机游走的覆盖均匀性，可以使用Lloyd方法确定各shot的起点位置。Lloyd算法保证起点均匀分布，然后每条轨迹从其起点出发进行随机游走。
图中显示的结果明显比随机起点的情况更加均匀。每条轨迹从不同的、均匀分布的位置出发，覆盖了k空间的不同区域。
Random Walk + 样条平滑
样条平滑对随机游走轨迹进行三次样条插值，使轨迹变得平滑连续。图中显示平滑后的轨迹没有尖锐的拐角
Travelling Salesman（旅行商问题）
旅行商问题（TSP）思路如下:
给定一组目标采样点，找到访问所有点的最短路径，这保证了所有预定采样点都被精确访问，同时最小化了总轨迹长度（即采集时间），优点是精确性，每个预定采样点都被精确访问，不存在遗漏
TSP + Lloyd采样
TSP + Lloyd采样结合了两种方法的优势：首先使用Lloyd算法生成均匀分布的采样点集合，然后使用TSP算法找到连接这些点的最短路径。
3.8.6 TSP + Lloyd + 样条平滑
在TSP + Lloyd的基础上，进一步对轨迹进行样条平滑处理，使轨迹满足MRI硬件的梯度约束。
3.8.7 TSP聚类选项
不同聚类方式产生不同的轨迹组织形式：
(None, None, None) 不施加任何结构约束，结果杂乱但总路径最短。
('y', None, 'x') 按y聚类，x排序，产生水平条纹状轨迹
('phi', None, 'r') 按角度聚类，径向排序，产生放射状轨迹
('y', 'x', 'r') 通过多级聚类产生更有序的轨迹结构
实验4：结构化笛卡尔VDS与FFT重建
与之前的逐点2D VDS不同，结构化笛卡尔VDS只在相位编码方向（k_y）进行可变密度采样，而读出方向（k_x）保持完整采样。这一部分研究沿相位编码方向的伪随机可变密度采样，分析 decay 和 nb_samples 参数对图像重建质量的影响。
任务1：改变 decay 参数
decay = 0.5
左图显示一维采样概率密度函数（PDF），横轴为 k_y 位置，纵轴为采样概率。密度函数呈现典型的中心高、两侧低的分布，k_y = 0（k空间中心）处概率最高，向两侧快速衰减，。这种分布保证了低频区域（小 |k_y| 值）被高概率采样，高频区域（大 |k_y| 值）被低概率采样。
右图显示累积分布函数（CDF）从0单调增加到1，在中心区域斜率大，在边缘区域斜率小
图中绿色实线显示原始的采样概率密度（Original Spectrum），红色虚线显示实际分配的k空间线（Assigned k-space lines）。可以观察到中心区域（k_y \approx 128，即k空间中心）采样线非常密集，边缘区域采样线稀疏但分布均匀
采样掩模呈现为水平条纹图案，白色条纹表示被采样的 k_y 行，黑色区域表示未采样的行。中心区域是低频全采样区域，从中心向上下两侧，白色条纹逐渐稀疏，间距增大。边缘区域条纹稀疏，但仍有分布。
k空间含噪数据图显示了1D VDS采样后的数据分布。中心区域数据密集，，向上下两侧数据变稀疏，呈现出水平条纹状的欠采样模式。信号能量主要集中在中心区域。零阶重建结果显示，图像存在明显的伪影。其原因正是 k_y 方向的欠采样
4.3.2 decay = 3
当衰减参数增大到 decay = 3 时，左图显示的PDF呈现出单位脉冲形状，右图显示的CDF呈现出近似阶跃函数的形状
可以观察到几乎所有采样都在中心区域
采样掩模图只有在中心位置有一条白色水平线，这代表只有最中心的几条被采样，其余全部缺失
零阶重建结果呈现出完全模糊的图像，无法辨识任何脑部结构和特征，因为只采集k空间中 k_y = 0 这一行，当进行傅立叶逆变换的时候，只能恢复图像在 x 方向的变化信息，而 y 方向的所有变化信息都丢失了
任务2：改变 nb_samples 参数
nb_samples 控制采集的相位编码线总数，决定了欠采样的程度
nb_samples = img_size/8
其结果图结论与之前相似，中心区域能量集中，重建结果有伪影
4.4.2 nb_samples = img_size/16
当采样线数量进一步减少到 img_size/16 时，对于256×256的图像，总采样线数仅为16条
k空间含噪数据图显示了极度稀疏的采样模式，重建结果严重模糊，有严重的振铃伪影，可见明显的振荡，这是由于高频区域采样线间距大导致的
综上所述，采样线数量越多，重建质量越好。但增加采样数量会延长扫描时间，需要在图像质量和扫描效率之间权衡。
实验5：周期性笛卡尔欠采样与零填充FFT重建
本实验探索周期性（规则）笛卡尔欠采样与零填充FFT重建的效果，与之前的可变密度随机采样形成对比，分析不同欠采样因子 R 和噪声水平对图像质量的影响
实验A：比较不同欠采样因子 R
欠采样掩模对比
- 2-fold undersampling, m = 128
- 4-fold undersampling, m = 64
- 8-fold undersampling, m = 32
R = 2
采样掩模为均匀的黑白条纹交替，采样间隔 \Delta k_y = 2。这意味着在 k_y 方向上，每隔一条线采集一条，零阶重建结果出现了混叠伪影（aliasing artifact），这是因为周期性欠采样在k空间中形成间距为 \Delta k_y = R 的采样网格，而k空间的周期性采样对应于空间域的周期性复制，其间距为
因此，原始图像（FOV = 256像素）在 y 方向上以128像素为周期重复，导致两个脑部图像重叠
R = 4
采样掩模条纹间距增大，每4条线采集1条，混叠伪影现象更加严重
R = 8
采样掩模条纹非常稀疏，k空间严重欠采样，重叠非常严重
实验B：改变噪声水平
signoise = 1（低噪声）
R = 2：
R = 4：
R = 8：
在低噪声情况下，对实验结果影响不大
signoise = 50（高噪声）
R = 2：
R = 4：
R = 8：
高噪声情况下，图像出现颗粒状噪音，且叠加在伪影上，进一步降低图像质量